0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Program Linier

 

Hai sobat nimu! Kali ini kita akan membahas mengenai program linier. Program linier tidak lepas dari pertidaksamaan yang telah dipelajari di kelas $10$. Untuk mengenalnya lebih lanjut, yuk simak penjelasan berikut! ๐Ÿ‘€

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

Program Linier

Perhatikan ilustrasi berikut.

Seorang Penjahit
Seorang penjahit memiliki kain wol sebanyak $4$ meter dan kain satin sebanyak $5$ meter. Dari kain tersebut akan dibuat dua model baju. Baju model I memerlukan $2$ meter kain wol dan $1$ meter kain satin. Sedangkan, baju model II memerlukan $1$ meter kain wol dan $2$ meter kain satin. Baju model I dijual dengan Rp$540.000,00$/baju dan baju model II dijual dengan Rp$450.000,00$/baju. Jika baju tersebut terjual, maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh penjahit.
Salah satu penerapan program linier pada kehidupan sehari-hari adalah seperti ilustrasi diatas. Kalau kita bisa memahami dan menerapkan program linier, tentu akan bermanfaat buat kehidupan sehari-hari, bukan? ๐Ÿ˜ Sebelum menjawab permasalah diatas, yuk simak penjelasan berikut!

A. Pengertian

Pengertian (Wikipedia)
Program linier adalah cara untuk memperoleh hasil optimal dari suatu model matematika yang disusun dari hubungan linier.

Secara formal, program linier menggambarkan suatu usaha untuk memaksimalkan dengan kendala yang ada. Secara umum, program linier dapat dituliskan dengan \begin{align*}ax+by &\ge c\\ ax+by &>c \\ ax+by &\le c \\ ax+by &<c \end{align*}


B. Menentukan Daerah Penyelesaian

Langkah pertama yang dilakukan untuk menyelesaikan program linier yaitu dengan menentukan daerah penyelesaiannya. 

1. Diketahui Dalam Bentuk Pertidaksamaan

Jika diketahui dalam berupa pertidaksamaan, langkah-langkah penyelesaian dapat dilakukan dengan metode berikut.

1.    Menggambar garis pembatas dari masing-masing pertidaksamaan. Dengan mencari titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$ dan mencari titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$.

2. Menghubungkan kedua titik tersebut dengan garis. Garis utuh (-----) jika tanda pertidaksamaan $\ge $ atau $\le $. Garis putus-putus (- - - -) jika tanda pertidaksamaan $>$ atau $<$.

3.  Menentukan daerah penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan dengan menguji salah satu titik.

Tips. Misalkan garis pembatasnya $ax+by=c$. 
Jika $a>0$ dan $ax+by\ge c$ (atau $ax+by> c$), maka daerah penyelesainnya berada pada kanan garis pembatas. Jika $ax+by\le c$ (atau $ax+by<c$), maka daerah penyelesaiannya berada pada kiri garis pembatas
Jika $a<0$ dan $ax+by\ge c$, maka daerah penyelesainnya berada pada kiri garis pembatas. Jika $ax+by\le c$, maka daerah penyelesaiannya berada pada kanan garis pembatas.
INGAT! Sebelum menggunakan tips ini, bentuk $ax+by$ harus pada ruas kiri (seperti pada bentuk umumnya). Contohnya, \begin{align*}ax+by &\ge c\\ ax+by &>c \\ ax+by &\le c \\ ax+by &<c \end{align*} Jika pada soal berbentuk $c > ax+by$, maka harus diubah menjadi $ax+by < c$.

4.    Menentukan irisan daerah penyelesaian dari semua pertidaksamaan tersebut.

Untuk memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan daerah penyelesaian dari \begin{align*} \begin{cases} x+y &\ge 3 \\ 2x-y &<6 \end{cases}\end{align*}
Pembahasan.
Langkah 1. Menggambar garis pembatas, yaitu $x+y=3$ dan $2x-y=6$.

Garis $x+y=3$. Titik potong dengan sumbu-$x$ (ketika $y=0$),

\begin{align*}x+y &= 3\\ x+0 &= 3 \\ x &= 3 \end{align*} Jadi, $(3,0)$. Titik potong dengan sumbu-$y$ (ketika $x=0$), \begin{align*}x+y &= 3 \\ 0 +y &= 3 \\ y&= 3\end{align*} Jadi, $(0,3)$.

Garis $2x-y=6$. Titik potong dengan sumbu-$x$ (ketika $y=0$), \begin{align*} 2-y &= 6 \\ 2x-0 &= 6 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3\end{align*} Jadi, $(3,0)$. Titik potong dengan sumbu-$y$ (ketika $x=0$), maka \begin{align*}2x-y &= 6 \\ 2(0) - y &= 6 \\ 0 -y &= 6 \\-y &= 6 \\ y &=-6  \end{align*}Jadi, $(0,-6)$.

Langkah 2.  Hubungkan kedua titik dari masing-masing garis. Karena tanda pada $x+y\ge 3$ berupa $\ge $, maka garis yang digambarkan berupa garis utuh (----). Karena tanda pada $2x-y<6$ berupa $<$, maka garis yang digambarkan berupa garis putus-putus. (- - - -)
Garis Pembatas
Langkah 3. Menentukan daerah penyelesaian.

Untuk $x+y\ge 3$. Uji titik $(x,y) = (0,0)$. Maka \[x+y = 0+0 = 0\] Tidak memenuhi syarat $x+y\ge 3$. Maka $(0,0)$ tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan daerah penyelesaian $x+y\ge 3$ (warna biru).

Untuk $2x-y<6$. Uji titik $(x,y)=(0,0)$. Maka \[2x-y = 2(0) - 0 = 0-0=0\] Memenuhi syarat $2x-y<6$. Maka $(0,0)$ tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan daerah penyelesaian $2x-y<6$ (warna merah).

Dengan TIPS.

Untuk $x+y\ge 3$. Maka $a=1>0$ (dari $ax+by=c$). Karena tandanya $\ge $, maka daerah penyelesaiannya berada pada kanan garis pembatas.

Untuk $2x-y<6$. Maka $a=2>0$ (dari $ax+by=c$). Karena tandanya $<$, maka daerah penyelesaiannya berada pada kiri garis pembatas.

Arsir daerah yang bukan penyelesaian. Hal ini untuk mempermudah mencari irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan yang diminta.

Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas


Langkah 4. Menentukan irisan. Irisan yang diminta adalah daerah yang tidak diarsir pada langkah 3. Sehingga daerah penyelesaiannya seperti pada gambar berikut.
Daerah Penyelesaian

Contoh 2

Tentukan daerah penyelesaian dari \begin{align*}\begin{cases}x+y &> 3 \\ 4 + 2x &>y \\ x &\ge 0\\ y&\ge 0 \end{cases} \end{align*}
Ubah semua bentuk pertidaksamaan dalam bentuk umum, yaitu \begin{align*} \begin{cases} x+y &>3 \\ 2x-y &>-4\\ x&\ge 0\\ y&\ge 0\end{cases}\end{align*}
Langkah 1. Menggambar garis pembatas, yaitu $x+y=3$, $2x-y=-4$, $x=0$, dan $y=0$.
Untuk garis $x+y=3$. Titik potong dengan sumbu-$x$, ketika $y=0$. Maka \begin{align*}x+y &=3 \\ x+ 0 &=3 \\ x &=3 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(3,0)$. Titik potong dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*} x+y &=3 \\ 0 +y &=3 \\ y &= 3\end{align*} Jadi, titik potongnya $(0,3)$.
Untuk garis $2x-y = -4$. Titik potong dengan sumbu-$x$, ketika $y=0$. Maka \begin{align*}2x-y & =-4 \\ 2x - 0 &=-4 \\ 2x &= -4 \\ x&=-2 \end{align*} Titik potong dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*}2x-y &=-4 \\ 2(0)-y &=-4 \\ 0-y &=-4 \\ -y &=-4 \\ y &=4 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(0,4)$.
Untuk garis $x=0$ melalui titik $(0,a)$ yang berarti garis $x=0$ merupakan sumbu-$y$.
Garis $y=0$ melalui titik $(a,0)$ yang berarti garis $y=0$ merupakan sumbu-$x$.
Langkah 2. Hubungkan kedua titik dari masing-masing garis. Karena tanda pada $x+y >3$ berupa $>$, maka garis yang digambarkan berupa garis putus-putus (- - - -). Karena tanda pada $2x-y\ge -4$ berupa $\ge $, maka garis yang digambarkan berupa garis putus-putus(- - - -). Karena tanda pada $x\ge 0$ berupa $\ge$, maka garis yang digambarkan berupa garis utuh (----). Karena tanda pada $y\ge 0$ berupa $\ge $, maka garis yang digambarkan berupa garis utuh (----). 
Garis Pembatas
Langkah 3. Menentukan daerah penyelesaian.
Untuk $x+y >3$. Uji titik $(x,y) = (0,0)$. Maka \[x+y = 0+0= 0\] Tidak memenuhi syarat $x+y >3$. Maka $(0,0)$ tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan daerah penyelesaian $x+y> 3$.
Untuk $2x-y >-4$. Uji titik $(x,y)=(0,0)$. Maka \[2x-y= 2(0) - 0 = 0-0=0\] Memenuhi syarat $2x-y >-4$. Maka $(0,0)$ termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan penyelesaian $2x-y>-4$.
Untuk $x \ge 0$. Uji titik $(x,y)=(5,1)$. Maka \[x = 5\] Memenuhi syarat $x\ge 0$. Maka titik $(5,1)$ termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan penyelesaian $x\ge 0$.
Untuk $y\ge 0$. Uji titik $(x,y) = (2,3)$. Maka \[y = 3\] Memenuhi syarat $y\ge 0$. Maka titik $(2,3)$ termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan merupakan penyelesaian $y\ge 0$.
Dengan TIPS.
Untuk $x+y>3$. Maka $x=1> 0$ (dari $ax+by=c$). Karena tanda berupa $>$, maka penyelesaiannya berada pada kanan garis pembatas.
Untuk $2x-y<-4$. Maka $x=2 > 0$ (dari $ax+by=c$). Karena tanda berupa $>$, maka penyelesaiannya berada pada kanan garis pembatas.
Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas
Langkah 4. Menentukan irisan. Irisan yang diminta adalah daerah yang tidak diarsir pada langkah 3. Sehingga daerah penyelesaiannya seperti pada gambar berikut.
Daerah Penyelesaian

2. Diketahui Titik Yang Dilalui Garis

Jika diketahui berupa titik yang dilalui oleh garis, langkah-langkah penyelesaian dapat dilakukan dengan metode berikut.

1.    Tentukan persamaan garis pembatas. Jika garis pembatas melalui $(0,a)$ dan $(b,0)$, maka persamaan garisnya $ax+by=ab$.

2.     Menentukan tanda pertidaksamaan. Jika garis utuh (----), maka tanda pertidaksamaan berupa $\ge $atau $\le $. Jika garis putus-putus (- - - -), maka tanda berupa $>$ atau $<$.

3.    Menentukan letak daerah penyelesaian. Kita perlu mengetahui daerah irisan/penyelesaian pertidaksamaan di sebelah kanan atau sebelah kiri garis pembatas.

Tips. Misalkan garis pembatasnya $ax+by=c$. 
Jika $a>0$ dan daerah penyelesaian berada di kanan garis pembatas, maka pertidaksamaannya $ax+by\ge c$ (atau $ax+by>c$). Jika berada di kiri garis pembatas, maka pertidaksamaannya $ax+by\le c$ (atau $ax+by <c$).
Jika $a<0$ dan daerah penyelesaian berada di kanan garis pembatas, maka pertidaksamaanya $ax+by\le c$ (atau $ax+by <c$). Jika berada di kiri garis pembatas, maka pertidaksamaannya $ax+by\ge c$ (atau $ax+by>c$).

4.     Menentukan sistem pertidaksamaan.

Untuk memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 3

Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut.
Pembahasan.
Langkah 1. Menentukan persamaan garis pembatas.
Untuk garis biru melalui titik $(0,3)$ dan $(3,0)$. Maka persamaan garis pembatasnya adalah \[3x+3y=3\times 3 \Longleftrightarrow 3x+3y=9\] Jika kita bagi pada kedua ruas persamaan dengan $3$, maka didapatkan $x+y=3$.
Untuk garis merah melalui titik $(0,-6)$ dan $(3,0)$. Maka persamaan garis pembatasnya adalah \[-6x+3y=(-6)\times 3 \Longleftrightarrow -6x+3y=-18\] Jika kita bagi kedua ruas persamaan dengan $3$, maka $-2x+y=-6$.
Langkah 2. Menentukan tanda pertidaksamaan.
Untuk garis biru berupa garis utuh (----), sehingga tanda pertidaksamaannya berupa $\ge $ atau $\le $.
Untuk garis merah berupa garis putus-putus (- - - -), sehingga tanda pertidaksamaannya berupa $>$ atau $<$.
Langkah 3. Menentukan letak daerah penyelesaian.
Untuk garis biru $x+y=3$. Daerah penyelesaian terletak pada sebelah kanan garis biru. Pada $x+y=3$, maka $a=1>0$ (dari $ax+by=c$). Karena terletak pada sebelah kanan garis pembatas $x+y=3$, maka tanda pertidaksamaan berupa $\ge $ atau $>$. Karena garis biru merupakan garis utuh, maka tanda pertidaksamaannya berupa $\le $ atau $\ge $. Sehingga pertidaksamaannya adalah $x+y\ge 3$.
Untuk garis merah $-2x+y=-6$. Daerah penyelesaian terletak pada sebelah kiri garis merah. Pada $-2x+y=-6$, maka $a=-2<0$ (dari $ax+by=c$). Karena terletak pada sebelah kiri garis merah, maka tanda pertidaksamaan berupa $\ge $ atau $>$. Karena garis merah merupakan garis putus-putus, maka tanda pertidaksamaannya berupa $>$ atau $<$. Maka pertidaksamaannya adalah $-2x+y>-6$.
Langkah 4. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah \begin{align*} x+y &\ge 3\\ -2x+y &>-6 \end{align*}

Contoh 4

Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut.
Langkah 1. Menentukan persamaan garis pembatas.
Garis ungu melalui titik $(0,3)$ dan $(3,0)$. Maka persamaan garisnya adalah\[3x+3y=3\times 3 \Longleftrightarrow 3x+3y=9\]Jika pada kedua ruas persamaan dibagi dengan $3$, maka $x+y=3$.
Garis merah melalui titik $(0,-1)$ dan $(1,0)$. Maka persamaan garisnya adalah \[(-1)x+(1)y = (-1)\times 1 \Longleftrightarrow -x+y= -1\] Langkah 2. Menentukan tanda pertidaksamaan.
Untuk garis ungu $x+y=3$. Garis ungu berupa garis utuh, maka tanda pertidaksamaannya berupa $\ge $ atau $\le$.
Untuk garis merah $-x+y=-1$. Garis merah berupa garis utuh, maka tanda pertidaksamaannya berupa $\ge $ atau $\le $.
Langkah 3. Menentukan letak daerah penyelesaian.
Untuk garis ungu $x+y=3$. Maka $a=1> 0$ (dari $ax+by=c$). Karena daerah penyelesaian terletak pada sebelah kiri pada garis ungu $x+y=3$, maka pertidaksamaannya berupa $\le $ atau $<$. Karena garis ungu $x+y=3$ berupa garis utuh, maka pertidaksamaannya adalah $x+y\le 3$.
Untuk garis merah $-x+y=-1$. Maka $a=-1< 0$ (dari $ax+by=c$). Karena daerah penyelesaian terletak pada sebelah kanan pada garis merah $-x+y=-1$, maka pertidaksamaannya berupa $\le $ atau $<$. Karena garis merah $-x+y=-1$ berupa garis utuh, maka pertidaksamaannya adalah $-x+y\le -1$.
Perhatikan bahwa daerah penyelesaian terletak diatas sumbu-$x$. Maka $y\ge 0$ juga termasuk dalam sistem pertidaksamaannya.
Langkah 4. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah \begin{align*}x+y & \le 3 \\ -x+y &\le -1\\ y &\ge 0 \end{align*}

C. Program Linier

Nah kita mulai masuk pada inti pembahasan dari bab ini. Program linier ada kaitannya tentang: 
Memecahkan suatu masalah dengan penentuan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan/objektif/sasaran.
Untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dapat dilakukan dengan menggunakan titik pojok atau garis selidik.

1. Titik Pojok

Menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dengan titik pojok sebagai berikut:

1.     Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diminta.

2.     Tentukan koordinat titik-titik yang berada di tepi/pojok pada daerah penyelesaian.

3.    Subtitusikan masing-masing titik pojok $(x,y)$ ke fungsi sasaran/obyektif/tujuan $f(x,y)=cx+dy$.

4.    Bandingkan semua nilai dari , untuk mencari nilai maksimum maka dicari nilai yang terbesar, jika mencari nilai minimum maka dicari yang terkecil.

Contoh 5

Diberikan sistem pertidaksamaan \begin{align*}\begin{cases}x & \ge 0\\ y&\ge 0\\ x+3y &\ge 3\\3x+2y &\le 6 \end{cases} \end{align*} Jika fungsi tujuan daerah penyelesaiannya adalah $f(x,y)=x+2y$, tentukan nilai optimum (minimum atau maksimum) dari $f(x,y)$.
Pembahasan.
Langkah 1. Menentukan daerah penyelesaian.
Untuk $x\ge 0$, daerah penyelesaian terletak pada sumbu-$x$ positif. Artinya, terletak di sebelah kanan sumbu-$y$.
Untuk $y\ge 0$, daerah penyelesaian terletak pada sumbu-$y$ positif. Artinya, terletak di sebelah atas sumbu-$x$.
Untuk $x+3y\ge 3$. Garis pembatasnya adalah $x+3y=3$. Maka $a=1>0$ (dari $ax+by=c$).
Titik potong garis $x+3y=3$ dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*} x+3y &= 3\\ 0+3y &= 3 \\ 3y &= 3 \\ y &= 1\end{align*} Maka titik potongnya $(0,1)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka\begin{align*} x+3y&= 3\\ x+3(0) &= 3 \\ x+0 &= 3\\x& = 3\end{align*} Maka titik potongnya $(3,0)$. Karena tanda pertidaksamaan pada $x+3y\ge 3$ berupa $\ge $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Uji titik $(x,y)= (2,1)$. Maka \[x+3y = 2+3(1) = 2+3=5\] Memenuhi syarat $x+3y \ge 3$. Maka $(x,y)=(2,1)$ termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan penyelesaian.
Dengan TIPS. Karena $a=1>0$ dan tanda pertidaksamaan pada $x+3y\ge 3$ berupa $\ge $, maka daerah penyelesaian berada pada sebelah kanan garis pembatas $x+3y=3$.
Untuk $3x+2y\le 6$. Garis pembatasnya adalah $3x+2y=6$. Maka $a=3>0$ (dari $ax+by=c$).
Titik potong dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*}3x+2y &= 6 \\ 3(0) + 2y &= 6 \\ 0+2y &= 6 \\ 2y&= 6 \\ y &= 3 \end{align*} Maka titik potongnya $(0,3)$. Titik potong dengan sumbu-$x$, ketika $y=0$. Maka \begin{align*} 3x+2y &= 6 \\ 3x+2(0) &= 6\\ 3x +0 &= 6\\ 3x &= 6 \\ x&=2 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(2,0)$. Karena tanda pertidaksamaan pada $3x+2y\le 6$ berupa $\le $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Uji titik $(x,y)=(2,1)$. Maka \[3x+2y = 3(2) + 2(1) = 6+2=8\] Tidak memenuhi syarat $3x+2y\le 6$, sehingga titik $(2,1)$ tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan penyelesaian.
Dengan TIPS. Karena $a=3>0$ dan tanda pertidaksamaan pada $3x+2y\le 3$ berupa $\le $, maka daerah penyelesaian berada pada sebelah kiri garis pembatas $3x+2y=6$.
Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas
Maka irisan daerah yang didapat seperti gambar berikut.
Irisan Daerah Penyelesaian
Langkah 2. Menentukan koordinat titik pojok.
Titik pojok daerah penyelesaian adalah titik $A$, titik $B$, dan titik $C$. Garis pink memiliki persamaan garis $x+3y=3$ dan persamaan garis biru muda memiliki persamaan $3x+2y=6$.
Koordinat titik $A(0,3)$ dan $B(0,6)$. Kita cari koordinat titik $C$. Koordinat titik $C$ merupakan perpotongan garis $x+3y=3$ dan $3x+2y=6$. Maka untuk mencari koordinat titik $C(x,y)$ yang merupakan perpotongan kedua garis tersebut, maka kita selesaikan persamaan \[x+3y=3\quad\text{dan}\quad 3x+2y=6\] Perhatikan \[x+3y=3\Longleftrightarrow x=3-3y\] Subtitusikan $x=3-3y$ pada $3x+2y=6$. \begin{align*}3x+2y &= 6\\ 3(3-3y) +2y &= 6\\ 9-9y + 2y &= 6 \\ 9-7y &= 6 \\ -7y &= 6-9 \\ -7y &= -3 \\ y &= \frac{3}{7}\end{align*} Subtitusi nilai $y$ pada persamaan $x+3y=3$. Maka \begin{align*}x+3y &= 3 \\ x +3\times \frac{3}{7} &= 3 \\ x+\frac{9}{7} &= 3 \\ x &= 3-\frac{9}{7} \\ x &= \frac{21-9}{7} \\ x &= \frac{12}{7} \end{align*} Jadi, $\displaystyle C(x,y) = C\left (\frac{12}{7},\frac{3}{7} \right )$.
Langkah 3. Subtitusikan masing-masing titik pojok $(x,y)$ ke fungsi tujuan $f(x,y)=x+2y$.
Untuk $A(0,6)$, maka \[f(0,6)= 0 + 2(6) = 0+12=12\] Untuk $B(0,1)$, maka \[f(0,1) = 0 +2(1) = 0+2=2\] Untuk $\displaystyle C\left (\frac{12}{7},\frac{3}{7} \right )$, maka \[f\left (\frac{12}{7},\frac{3}{7} \right ) = \frac{12}{7} +2\left (\frac{3}{7} \right ) = \frac{12}{7} + \frac{6}{7} = \frac{18}{7}\]
Langkah 4. Membandingkan semua nilai dari Maka nilai minimumnya adalah $2$ (di titik $B$) dan nilai maksimumnya adalah $12$ (di titik $A$).
Jadi, nilai optimumnya adalah $\boxed{2}$ dan $\boxed{12}$.

Contoh 6

Fungsi tujuan $f(x,y) = x-y$ dari penyelesaian sistem pertidaksamaan \begin{align*}\begin{cases}x &\ge 0 \\ 2x+y &\le 3\\ y &\ge 1 \end{cases} \end{align*} memiliki nilai maksimum $M$ dan minimum $m$. Tentukan nilai dari $M-m$.
Langkah 1. Menentukan daerah penyelesaian.
Untuk $x\ge 0$, garis pembatasnya adalah $x=0$ (sumbu-$y$). Karena $x\ge 0$, maka daerah penyelesaian terletak pada sumbu-$x$ positif (sebelah kanan sumbu-$y$).
Untuk $y\ge 1$, garis pembatasnya adalah $y=1$. Garis $y=1$ melalui titik $(x,y)=(a,1)$ (berapapun nilai $a$). Uji titik $(x,y) = (1,4)$. Maka \[y=4 \] Memenuhi syarat $y\ge 1$. Maka $(1,4)$ termasuk dalam daerah penyelesaian.
Untuk $2x+y\le 3$, garis pembatasnya $2x+y=3$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$, maka \begin{align*} 2x+y &=3\\2(0)+y &=3\\ y &=3 \end{align*} Jadi, memotong di titik $(x,y)=(0,3)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka \begin{align*}2x+y &=3 \\2x+0 &=3 \\ 2x &=3 \\ x &=\frac{3}{2} \end{align*} Jadi, memotong di titik $\displaystyle \left (\frac{3}{2},0 \right )$. Uji titik $(0,0)$. Maka \[2x+y= 2(0) + 0 = 0+0 =0\] Memenuhi syarat $2x+y \le 3$. Maka titik $(0,0)$ termasuk dalam daerah penyelesaian.
Dengan TIPS. Untuk $2x+y=3$, maka $a=2>0$ (dari $ax+by=c$). Karena tanda pada pertidaksamaan $2x+y\le 3$ adalah $\le$, maka daerah penyelesaiannya terletak pada sebelah kiri garis pembatas.
Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas
Maka irisannya seperti gambar berikut.
Irisan Daerah Penyelesaian
Langkah 2. Menentukan koordinat titik pojok.
Titik pojok pada daerah penyelesaiannya adalah titik $A$, titik $B$, dan titik $C$. Koordinat titik $A(0,1)$ dan $C(0,3)$. Akan kita cari koordinat titik $B$. Titik $B$ merupakan perpotongan garis $y=1$ (garis kuning) dan garis $2x+y=3$. Maka untuk mencari koordinat titik $B(x,y)$, kita selesaikan persamaan \[y=1\quad \text{dan}\quad 2x+y=3\] Maka \begin{align*}2x+y &= 3 \\2x+1 &= 3\\2x &= 3-1\\2x &= 2\\x &= 1\end{align*} Maka koordinat titik $B(x,y)=B(1,1)$.
Langkah 3. Subtitusikan masing-masing titik pojok $(x,y)$ ke fungsi tujuan $f(x,y)=x-y$.
Untuk titik $A(0,1)$, maka \[f(0,1) = 0 - 1 = -1\] Untuk titik $B(1,1)$, maka \[f(1,1) = 1-1 = 0\] Untuk titik $C(0,3)$, maka \[f(0,3) = 0-3 = -3\] Sehingga nilai minimum dari fungsi tujuan $f(x,y)$ adalah $-3$, sedangkan nilai maksimumnya adalah $0$. Maka $M=-3$ dan $m=0$. Sehingga \[M-m = -3 -0 = -3\] Jadi, nilai dari $M-m$ adalah $\boxed{-3}$.

2. Garis Selidik

Menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dengan garis selidik sebagai berikut:

1.    Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang diminta.

2.    Tentukan titik-titik yang berada di tepi/pojok pada daerah penyelesaian.

3.   Jika fungsi sasaran/obyektif/tujuan $f(x,y)=cx+dy$, buat garis selidik $cx+dy=cd$.

4.    Buat garis yang sejajar dengan garis selidik dari masing-masing titik pojok/tepi.

5.   Garis yang sejajar dan memotong sumbu-$y$ paling atas merupakan titik pojok yang menghasilkan nilai maksimum dan jika memotong sumbu-$y$ paling bawah merupakan titik pojok yang menghasilkan nilai minimum.

Contoh 7

Diberikan sistem pertidaksamaan \begin{align*}\begin{cases}x & \ge 0\\ y&\ge 0\\ x+3y &\ge 3\\3x+2y &\le 6 \end{cases} \end{align*} Jika fungsi tujuan daerah penyelesaiannya adalah $f(x,y)=x+2y$, tentukan nilai optimum (minimum atau maksimum) dari $f(x,y)$.
Pembahasan.
Langkah 1. Menentukan daerah penyelesaian.
Untuk $x\ge 0$, daerah penyelesaian terletak pada sumbu-$x$ positif. Artinya, terletak di sebelah kanan sumbu-$y$.
Untuk $y\ge 0$, daerah penyelesaian terletak pada sumbu-$y$ positif. Artinya, terletak di sebelah atas sumbu-$x$.
Untuk $x+3y\ge 3$. Garis pembatasnya adalah $x+3y=3$. Maka $a=1>0$ (dari $ax+by=c$).
Titik potong garis $x+3y=3$ dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*} x+3y &= 3\\ 0+3y &= 3 \\ 3y &= 3 \\ y &= 1\end{align*} Maka titik potongnya $(0,1)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka\begin{align*} x+3y&= 3\\ x+3(0) &= 3 \\ x+0 &= 3\\x& = 3\end{align*} Maka titik potongnya $(3,0)$. Karena tanda pertidaksamaan pada $x+3y\ge 3$ berupa $\ge $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Uji titik $(x,y)= (2,1)$. Maka \[x+3y = 2+3(1) = 2+3=5\] Memenuhi syarat $x+3y \ge 3$. Maka $(x,y)=(2,1)$ termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan penyelesaian.
Dengan TIPS. Karena $a=1>0$ dan tanda pertidaksamaan pada $x+3y\ge 3$ berupa $\ge $, maka daerah penyelesaian berada pada sebelah kanan garis pembatas $x+3y=3$.
Untuk $3x+2y\le 6$. Garis pembatasnya adalah $3x+2y=6$. Maka $a=3>0$ (dari $ax+by=c$).
Titik potong dengan sumbu-$y$, ketika $x=0$. Maka \begin{align*}3x+2y &= 6 \\ 3(0) + 2y &= 6 \\ 0+2y &= 6 \\ 2y&= 6 \\ y &= 3 \end{align*} Maka titik potongnya $(0,3)$. Titik potong dengan sumbu-$x$, ketika $y=0$. Maka \begin{align*} 3x+2y &= 6 \\ 3x+2(0) &= 6\\ 3x +0 &= 6\\ 3x &= 6 \\ x&=2 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(2,0)$. Karena tanda pertidaksamaan pada $3x+2y\le 6$ berupa $\le $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Uji titik $(x,y)=(2,1)$. Maka \[3x+2y = 3(2) + 2(1) = 6+2=8\] Tidak memenuhi syarat $3x+2y\le 6$, sehingga titik $(2,1)$ tidak termasuk dalam daerah penyelesaian. Arsir daerah yang bukan penyelesaian.
Dengan TIPS. Karena $a=3>0$ dan tanda pertidaksamaan pada $3x+2y\le 3$ berupa $\le $, maka daerah penyelesaian berada pada sebelah kiri garis pembatas $3x+2y=6$.
       
Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas
Maka irisan daerah yang didapat seperti gambar berikut.
       
Irisan Daerah Penyelesaian
Langkah 2. Menentukan koordinat titik pojok.
Titik pojok daerah penyelesaian adalah titik $A$, titik $B$, dan titik $C$.
Langkah 3. Fungsi sasaran adalah $f(x,y)=x+2y$, maka kita buat garis selidiknya dengan\[x+2y = 1\times 2 \Longleftrightarrow x+2y = 2\] Untuk menggambarnya, tentukan titik potong dengan sumbu-$x$ dan sumbu-$y$.
Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka \begin{align*}x+2y &= 2\\ x + 2(0)&= 2 \\ x &= 2 \end{align*} Jadi, memotong di titik $(2,0)$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$, maka \begin{align*}x+2y &= 2 \\ 0 +2y &= 2 \\ 2y &= 2 \\ y &= 1 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(0,1)$. Hubungkan kedua titik tersebut.
Membuat Garis Selidik

Langkah 4.
 Buat garis yang sejajar dengan garis selidik dan melalui masing-masing titik tepi/pojok.
Membuat Garis Yang Sejajar Dengan Garis Selidik
Langkah 5. Garis yang sejajar memotong sumbu-$y$ paling atas adalah garis yang melalui titik $A$, dan garis yang paling bawah adalah garis yang melalui titik $B$. Maka untuk nilai maksimum akan diperoleh pada titik $A(0,6)$, dan nilai minimum akan diperoleh pada ittik $B(0,1)$.
Untuk $A(0,6)$, maka\[f(0,6) = 0 +2(6) = 0+12=12\] Untuk $B(0,1)$, maka \[f(0,1)= 0+2(1) = 0+2=2\] Jadi, nilai maksimum dari $f(x,y)=x+2y$ adalah $\boxed{12}$ dan nilai minimumnya $\boxed{2}$.

Contoh 8

Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif $4x+2y$ pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut:\begin{align*}x+2y &\le 4 \\ x- y&\le 2\\x+y&\ge 1 \\x&\ge0 \\ y&\ge 0 \end{align*}
Langkah 1. Menentukan daerah penyelesaian.
Untuk $x+2y\le 4$. Maka garis pembatasnya adalah $x+2y=4$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$, maka \begin{align*}x+2y &=4\\ 0+2y &=4 \\ 2y &=4 \\ y &=2 \end{align*} Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka\begin{align*} x+2y &=4 \\ x+2(0) &=4 \\ x &=4\end{align*} Jadi, memotong di titik $(4,0)$. Karena tanda pertidaksamaan pada $x+2y\le 4$ berupa $\le$, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Serta $a=1> 0$ (dari $ax+by=c$) dan tanda pertidaksamaannya $\le $, maka daerah penyeleseaiannya berada di sebelah kiri garis pembatas.
Untuk $x-y\le 2$. Maka garis pembatasnya adalah $x-y=2$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$, maka \begin{align*}x-y & = 2\\ 0 -y &=2 \\ -y &=2 \\ y &=-2 \end{align*}Jadi, memotongnya di $(0,-2)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka \begin{align*} x-y &=2 \\ x -0 &=2 \\ x &=2 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(2,0)$. Karena tanda pertidaksamaan $x-y\le 2$ berupa $\le $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Serta $a=1>0$ (dari $ax+by=c$) dan tanda pertidaksamaannya $\le $, maka daerah penyelesaiannya berada di sebelah kiri garis pembatas.
Untuk $x+y\ge 1$. Maka garis pembatasnya adalah $x+y=1$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$, maka \begin{align*}x+y &=1\\ 0 + y &=1\\ y &=1 \end{align*} Jadi, titik potongnya $(0,1)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$, maka \begin{align*}x+y &=1 \\ x+0 &=1 \\ x &=1\end{align*} Jadi, titik potongnya $(1,0)$. Karena tanda pertidaksamaan $x+y\ge 1$ berupa $\ge $, maka garis pembatasnya berupa garis utuh. Serta $a=1>0$ (dari $ax+by=c$) dan tanda pertidaksamaannya $\ge $, maka daerah penyelesaiannya berada di sebelah kanan garis pembatas.
Karena $x\ge 0$, maka daerah penyelesaian berada di sumbu-$x$ positif (sebelah kanan sumbu-$y$).
Karena $y\ge 0$, maka daerah penyelesaian berada di sumbu-$y$ positif (diatas sumbu-$x$).
Daerah Penyelesaian Masing-Masing Garis Pembatas
Maka daerah penyelesaiannya seperti pada gambar berikut.
Daerah Penyelesaian
Langkah 2. Menentukan koordinat titik pojok. Titik pojok dalam daerah penyelesaian adalah titik $A$, titik $B$, titik $C$, titik $D$, dan titik $E$. 
Langkah 3. Fungsi obyektif/tujuannya adalah $f(x,y)=4x+2y$, maka kita buat garis selidik dengan \[4x+2y=4\times 2 \Longleftrightarrow 4x+2y=8\] Kemudian, tentukan titik potong dengan sumbu-$x$ dan sumbu-$y$. Titik potong dengan sumbu-$y$ ketika $x=0$. Maka \begin{align*} 4x+2y &= 8 \\ 4(0)+2y &= 8 \\ 0+2y &= 8 \\ 2y &= 8\\ y &= 4\end{align*} Jadi, titik potongnya $(0,4)$. Titik potong dengan sumbu-$x$ ketika $y=0$. Maka \begin{align*}4x +2 y&= 8 \\ 4x+ 2(0) &= 8 \\ 4x+0 &= 8\\4x &= 8 \\ x &=2 \end{align*}Jadi, titik potongnya $(2,0)$. Hubungkan kedua titik tersebut.
Membuat Garis Selidik
Langkah 4. Buat garis yang sejajar dengan garis selidik dan melalui masing-masing titik tepi/pojok.
Membuat Garis Sejajar Dengan Garis Selidik
Langkah 5. Garis yang memotong sumbu-$y$ paling atas adalah garis yang melalui titik $E$, sedangkan yang memotong sumbu-$y$ paling bawah adalah garis yang melalui titik $B$. Yang diminta pada soal adalah nilai maksimum. Sehingga kita cukup pertimbangkan titik $E$. Maka kita perlu mencari koordinat titik $E$. Titik $E$ merupakan perpotongan garis ungu $x+2y=4$ dan garis biru $x-y=2$. Maka koordinat titik $C(x,y)$ ditentukan dengan menyelesaikan \[x+2y=4\quad \text{dan}\quad x-y=2\] Perhatikan bahwa \[x-y=2 \Longleftrightarrow x=2+y\] Subtitusikan pada persamaan $x+2y=4$. \begin{align*} x+2y &=4 \\ 2+y+2y &=4 \\ 3y &=4-2 \\ 3y &=2 \\ y &=\frac{2}{3} \end{align*} Subtitusikan nilai $y$ pada $x=2+y$. Maka \[x=2+\frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}\] Demikian $\displaystyle C(x,y) = \left (\frac{8}{3},\frac{2}{3} \right )$. Maka nilai maksimum fungsi obyektif $f(x,y) = 4x+2y$ adalah \[f\left (\frac{8}{3},\frac{4}{3} \right ) = 4\left (\frac{8}{3} \right )+2\left (\frac{2}{3}\right ) = \frac{32}{3}+\frac{4}{3}=\frac{36}{3}=12\] Jadi, nilai maksimum dari fungsi obyektif $4x+2y$ adalah $\boxed{12}$.

Nah, itu dia pembahasan mengenai program linier. Eits.. Itu tadi masih sekedar konsep dasar terlebih dahulu ya ๐Ÿ‘€ Di postingan lain, nanti kita akan bahas tentang pemecahan masalah di kehidupan nyata yeay! Jadi, nantikan dan tetap stay tune ya! ๐Ÿ˜
Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

Posting Komentar