0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Pertidaksamaan Kuadrat

 

Hai Sobat NiMu di seluruh Indonesia! Di artikel ini aku bakal membahas tentang Pertidaksamaan Kuadrat, nah kalian pastinya sudah mengenal persamaan kuadrat, yang berbeda kali ini adalah pertidaksamaan menggunakan tanda lebih besar dan sama besar. Maka dari itu akan diperoleh hasil akar-akar yang berupa himpunan penyelesaian.

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

A. Definisi


Definisi

Pertidaksamaan Kuadrat adalah bentuk dari persamaan kuadrat yang mengandung tanda $<$ (kurang dari), $>$ (lebih dari), $\le $ (kurang dari sama dengan), dan $\ge $ (lebih dari sama dengan). Sehingga suku-suku yang diperoleh dalam bentuk himpunan.

Nah yang pertama ada $4$ bentuk pertidaksamaan kuadrat, bentuknya sama seperti persamaan kuadrat yang memiliki $x$ paling besar berupa kuadrat.

\begin{align*}ax^2 + bx+c &>0 \\ ax^2+bx+c &\ge 0 \\ ax^2 + bx+c &<0 \\ ax^2+bx+c &\le 0 \end{align*}


B. Metode Umum Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah 1. Menentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi "sama dengan". Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah pembuat nol.
\[\underbrace{ax^2+bx+c \le 0}_{\text{pertidaksamaan kuadrat}} \longrightarrow \underbrace{ax^2+bx+c=0}_{\text{Ganti tanda menjadi = 0}}\]

Langkah 2. Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan jika itu termasuk bulatan penuh atau kosong. 

Membuat Garis Bilangan

Kemudian tentukan tanda untuk masing-masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis $(+)$ jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis $(-)$ jika hasil substitusi bernilai negatif.

Menentukan Tanda Pada Daerah Interval

Catatan. Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling $(+)(-)(+)$ atau $(-)(+)(-)$, kecuali jika akar-akar yang diperoleh sama (kembar).
Tips. Jika akar-akar yang diperoleh berbeda, cukup dicari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).

Langkah 3. Tentukan daerah penyelesaian (arsiran).
Untuk pertidaksamaan "$>0$" atau "$\ge 0$", daerah penyelesaian berada pada interval ke kanan menuju positif $(+)$.

Untuk pertidaksamaan "$<0$" atau "$\le 0$", daerah pernyelesaian berada pada interval ke kiri menuju $(-)$.

Langkah 4. Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan


C. Contoh Soal

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari $-x^2-3x+4 >0$.
Pembahasan.
Langkah 1. Untuk menentukan pembuat nol, \begin{align*}-x^2-3x+4 &= 0 \tag{kalikan $-1$}\\ x^2+3x-4 &= 0\\ (x+4)(x-1) &= 0\\ x = -4&\text{ atau }x=1 \end{align*}
Langkah 2. Karena tanda berupa $>$, maka pada garis bilangan berupa bulatan tidak penuh.
Titik Pemecah
Langkah 3. Menentukan daerah penyelesaian.
Jika $x<-4$, uji $x=-5$. Maka \[-x^2-3x+4=-5^2-3(-5)+4 = -25+15+4=-6 \quad (-)\] Jika $-4<x<1$, uji $x=0$. Maka \[-0^2-3(0)+4 = -0-0+4=4\quad (+)\] Untuk $x>1$, uji $x=2$. Maka \[-x^2-3x+4=-2^2-3(2)+4 = -4-6+4=-6\quad (-)\] Karena pada pertidaksamaan $-x^2-3x+4>0$ tandanya adalah $>0$, maka kita pilih daerah yang positif $(+)$.
Daerah Penyelesaian (interval)
Langkah 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \[HP = \boxed{\{x\mid -4<x<1\}}\]

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[x^2-2x-3\ge 0\]
Pembahasan.
Langkah 1. Untuk menentukan pembuat nol, \begin{align*}x^2-2x-3 &= 0 \\ (x-3)(x+1) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau }x=3  \end{align*}
Langkah 2. Karena tanda berupa $\ge $, maka pada garis bilangan berupa bulatan penuh.
Titik Pemecah
Langkah 3. Menentukan daerah penyelesaian.
Jika $x\le -1$, uji $x=-2$. Maka \[x^2-2x-3 = (-2)^2-2(-2)-3 = 4+4-3 = 5\quad (+)\]Jika $-1\le x\le 3$, uji $x=0$. Maka \[x^2-2x-3=0^2-2(0)-3 = 0-0-3=-3\quad (-)\]Jika $x\ge 3$, uji $x=4$. Maka \[x^2-2x-3=4^2-2(4)-3=16-8-3=5\quad (+)\] Karena pada pertidaksamaan $x^2-2x-3\ge 0$ tandanya adalah $\ge 0$, maka kita pilih daerah yang positif $(+)$.
Daerah Penyelesaian (interval)
Langkah 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \[HP = \boxed{\{x\mid x\mid x\le -1 \cup x\ge 3\}}\]

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[x(3x+1) > (x+1)^2-1\]
Pembahasan.
Kita ubah terlebih dahulu dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat tersebut.\begin{align*}x(3x+1) &>(x+1)^2 -1 \\ 3x^2+x &>x^2+2x+1-1 \\ 3x^2+x &>x^2+2x\\ 3x^2+x-x^2-2x &>0 \\ 2x^2-x &>0 \end{align*}Langkah 1. Menentukan pembuat nol, \begin{align*}2x^2 -x &= 0 \\ x(2x-1) &= 0\\ x=0 &\text{ atau }x=\frac{1}{2} \end{align*}Langkah 2. Karena tandanya berupa $>$, maka pada garis bilangan berupa bulatan tidak penuh.
Titik Pemecah
Langkah 3. Menentukan daerah penylesaian.
Jika $x<0$, uji $x=-1$. Maka \[2x^2-x = 2(-1)^2-(-1)=2+1=3\quad (+)\]
Jika $\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$, uji $\displaystyle x=\frac{1}{3}$. Maka \[2x^2-x=2\left (\frac{1}{3} \right )^2-\frac{1}{3} = \frac{2}{9}-\frac{3}{9}=-\frac{1}{9}\quad (-)\]Jika $\displaystyle x>\frac{1}{2}$, uji $x=1$. Maka \[2x^2-x=2(1)^2 - 1 = 2 -1=1\quad (+)\]Karena pada pertidaksamaan $2x^2 - x>0$ tandanya adalah $\ge 0$, maka kita pilih daerah yang positif $(+)$.
Daerah Penyelesaian (interval)
Langkah 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \[HP = \boxed{\left \{x\mid x<0 \cup x>\frac{1}{2} \right \} }\]

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[-x^2+2x+35 < 0\]
Langkah 1. Menentukan pembuat nol, \begin{align*} -x^2 + 2x+35 &= 0 \tag{kalikan -1}\\ x^2-2x-35 &=0\\ (x-7)(x+5) &=0\\ x =-5 &\text{ atau } x=7\end{align*}Langkah 2. Karena tanda pertidaksamaan berupa $<$, maka pada garis bilangan  berupa bilangan tidak penuh.
Titik Pemecah
Langkah 3. Menentukan daerah penyelesaian. Jika $x<-5$, uji $x=-6$. Maka \[-x^2 +2x+35 = -(-6)^2 + 2(-6)+35 = -36-12+35 = -13\quad (-)\]Jika $-5<x<7$, uji $x=0$. Maka \[-x^2+2x+35 =-0^2 + 2(0) + 35 = -0+0+35=35\quad (+)\]Jika $x>7$, uji $x=8$. Maka \[-x^2+2x+35 = -8^2+2(8)+35=-64 + 16+35 = -13\quad (-)\] Karena pada pertidaksamaan $-x^2+2x+35<0$ tandanya adalah $<0$, maka kita pilih daerah yang negatif $(-)$.
Daerah Penyelesaian (interval)
Langkah 4. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \[HP=\boxed{\{x\mid x<-5\cup x>7\}}\]

Nah, sekian dulu untuk artikel mengenai Pertidaksamaan Kuadrat kali ini, sampai jumpa pada artikel selanjutnya, ya! Semangat belajar!

Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

1 komentar

Berkomentarlah dengan sopan dan santun ya :D Jika ingin mendapatkan notifikasi bahwa komentarmu telah dibalas, silahkan tekan kotak "Beri tahu saya".