0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel

Hai, sobat nimu! Ketemu lagi, nih. Kali ini, kita akan membahas pertidaksamaan rasional. Pertama, apa itu bilangan rasional? Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\displaystyle \frac{a}{b}$ dimana $a$ dan $b$ bilangan bulat serta $b\neq 0$. Sebagai contoh, \[\frac{1}{2},\quad -5,\quad \text{dan} \; \frac{5}{7}\] Apa sih pertidaksamaan rasional itu? Yuk, kita bahas!

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

A. Definisi

Definisi
Pertidaksamaan rasional merupakan pertidaksamaan yang berbentuk pecahan yang memuat fungsi rasional.

Nah, bentuk umumnya begini nih: \begin{align*}\frac{f(x)}{g(x)}>0 &\quad\text{atau}\quad \frac{f(x)}{g(x)} \ge 0 \\ \frac{f(x)}{g(x)} <0 &\quad\text{atau}\quad \frac{f(x)}{g(x)}\le 0 \end{align*} Bentuk umum tersebut memiliki syarat sebagai berikut:

       $g(x) \neq 0$

● $g(x)$ selalu memiliki tanda $>$ $(g(x)>0)$ atau $<$ $(g(x)<0)$ meskipun tanda pada pertidaksamaannya adalah $\le $ atau $\ge $.

  Tidak bisa dikali silang. Jadi,  tidak bisa \[\frac{f(x)}{g(x)} >a \Rightarrow f(x) >a \times g(x)\] Begitu juga untuk tanda yang lainnya, yaitu $<,\ge ,$ atau $\le$.

     Pembilang dan penyebutnya tidak bisa dicoret. Jadi, tidak bisa \[\frac{f(x) \times g(x)}{g(x)}>a \Rightarrow f(a) >a\] Begitu juga untuk tanda lainnya, $<,\ge,$ atau $\le$.

Syaratnya cukup simpel, bukan? 😊 Setelah mengetahui pengertian dan syarat-syaratnya, sekarang kita akan mempelajari langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional.


B. Langkah Penyelesaian

1.  Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umum dengan memindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanannya adalah nol.

2.    Cari pembuat nol pembilang dan penyebut.

3.    Menyusun nilai $x$ dari pembuat nol tersebut ke garis bilangan.

4.    Uji tanda ($+$ atau $-$) dalam garis bilangan pada tiap interval dengan mengambil nilai $x$.

5. Tentukan daerah penyelesaiannya dengan melihat tanda pada pertidaksamaan. Jika tandanya $<$ atau $\le $ maka daerah penyelesaiannya adalah yang memiliki tanda $(-)$. Jika tandanya $>$ atau $\ge $ maka daerah penyelesaiannya adalah yang memiliki tanda $(+)$.

Nah, sekarang udah tau kan langkah-langkahnya. Kalau gitu, yuk, langsung aja kita pindah ke contoh soalnya!


C. Contoh Soal

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{x+5}{x-3}> 0$.
Pembahasan.
Titik pemecah
Pembuat nol : \begin{align*}x+5 = 0&\Longleftrightarrow x=-5\\ x-3 =0 &\Longleftrightarrow x=3 \end{align*} Syarat : $g(x)\neq 0$. \[x-3 =0 \Longleftrightarrow x=3\]
Untuk interval $x<-5$, ambil $x=-6$: \[\frac{x+5}{x-3} = \frac{-6+5}{-6-3}=\frac{-1}{-9}=\frac{1}{9}\quad (+)\] Untuk interval $-5 <x<3$, ambil $x=0$: \begin{align*}\frac{x+5}{x-3} = \frac{0+5}{0-3}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}\quad (-) \end{align*} Untuk interval $x>3$, ambil $x=4$: \[\frac{x+5}{x-3} = \frac{4+5}{4-3} = \frac{9}{1} = 9\quad (+)\] Jadi, garis bilangannya akan menjadi seperti berikut:
Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaiannya berada pada interval yang bertanda $(+)$, karena pada pertidaksamaannya adalah $>0$. Jadi, \[HP = \boxed{\{x\mid x<-5 \;\cup \; x>3\}}\] Dalam kasus ini, $x\neq 3$ tidak perlu ditulis  karena $x\neq 3$ sudah termasuk di $x>3$.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[\frac{x+2}{x^2+8x+16} \le 0\]
Perhatikan bahwa \begin{align*}\frac{x+2}{x^2+8x+16} &\le 0 \\ \frac{x+2}{(x+4)^2} &\le 0 \end{align*} Pembuat nol : \begin{align*}x +2 =0 &\Longleftrightarrow x=-2 \\ (x+4)^2 = 0 &\Longleftrightarrow x=-4 \end{align*} Syarat : $g(x)\neq 0$. \begin{align*}(x+4)^2  &\neq 0 \\ x &\neq -4 \end{align*}
Titik Pemecah
Untuk interval $x< -4$, ambil $x=-5$: \begin{align*}\frac{x+2}{(x+4)^2} = \frac{-5+2}{(-5+4)^2} = \frac{-3}{(-1)^2}=-3\quad(-) \end{align*} Untuk interval $-4<x\le -2$, ambil $x=-3$:\[\frac{x+2}{(x+4)^2} = \frac{-3+2}{(-3+4)^2} =\frac{-1}{1^2}=-1\quad (-)\]Untuk interval $x\ge -2$, ambil $x=0$: \begin{align*} \frac{x+2}{(x+4)^2}=\frac{0+2}{(0+4)^2}=\frac{2}{4^2} = \frac{2}{16}\quad (+)\end{align*} Jadi, garis bilangannya akan menjadi seperti berikut:
Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaian berada pada interval $(-)$, karena pertidaksamaan diatas $\le 0$. Jadi, \[HP=\boxed{\{x\mid x\le -2\}}\]

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{2x-1}{x+3} \le 1$.
Pembahasan.
Ubah salah satu ruas menjadi $0$. \begin{align*}\frac{2x-1}{x+3} &\le 1 \\ \frac{2x-1}{x+3} -1 &\le 0 \\ \frac{2x-1-(x+3)}{x+3} &\le 0 \\ \frac{2x-1-x-3}{x+3} &\le 0 \\ \frac{x-4}{x+3} &\le 0 \end{align*} Pembuat nol : \begin{align*}x-4 =0 &\Longleftrightarrow x=4 \\ x+3 =0 &\Longleftrightarrow x=-3 \end{align*} Syarat : $g(x)\neq 0$. \begin{align*}x+3 = 0 \Longleftrightarrow x=-3 \end{align*}
Titik Pemecah
Untuk interval $x=-3$, ambil $x=-4$: \begin{align*}\frac{x-4}{x+3} = \frac{-4-4}{-4+3} = \frac{-8}{-1} = 8 \quad (+) \end{align*} Untuk interval $-3 <x\le 4$, ambil $x=0$: \[\frac{x-4}{x+3}=\frac{0-4}{0+3} = \frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}\quad (-)\] Untuk interva $x\ge 4$, ambil $x=5$: \[\frac{x-4}{x+3} = \frac{5-4}{5+3} = \frac{1}{8}\quad (+)\] Jadi, garis bilangannya akan menjadi seperti berikut: 
Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda $(-)$, karena pertidaksamaan di atas $\le 0$. Jadi, \[HP = \boxed{\left \{x\mid -3<x\le 4 \right \}}\]

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[\frac{x^2+1}{x+2} > 2\]
Ubah salah satu ruas menjadi $0$. \begin{align*}\frac{x^2+1}{x+2} & > 2\\ \frac{x^2+1}{x+2} -2 & >0 \\ \frac{x^2+1-2(x+2)}{x+2} & >0\\ \frac{x^2+1-2x-4}{x+2} & >0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x+2} & >0 \\ \frac{(x-3)(x+1)}{x+2} & >0 \end{align*} Pembuat nol : \begin{align*}x-3 = 0 &\Longleftrightarrow x=3 \\ x+1 =0 &\Longleftrightarrow x=-1 \\ x+2 = 0 &\Longleftrightarrow x=-2 \end{align*} Syarat : $g(x)\neq 0$. \[x+2 \neq 0 \Longleftrightarrow x\neq -2\]
Titik Pemecah
Untuk interval $x<-2$, ambil $x=-3$: \[\frac{(x-3)(x+1)}{x+2} = \frac{(-3-3)(-3+1)}{-3+2} = \frac{(-6)(-2)}{-1} = -12 \quad (-)\] Untuk interval $-2<x<-1$, ambil $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$: \[\frac{(x-3)(x+1)}{x+2}=\frac{\left (-\frac{3}{2}-3 \right )\left (-\frac{3}{2} + 1 \right )}{-\frac{3}{2} + 2}=\frac{\left (-\frac{9}{2} \right )\left (-\frac{1}{2} \right )}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}\quad (+)\] Untuk interval $-1<x<3$, ambil $x=0$: \[\frac{(x-3)(x+1)}{x+2} = \frac{(0-3)(0+1)}{0+2}=\frac{(-3)(1)}{2}=-\frac{3}{2}\quad (-)\] Untuk interval $x>3$, ambil $x=4$: \[\frac{(x-3)(x+1)}{x+2} = \frac{(4-3)(4+1)}{4+2}=\frac{(1)(5)}{6}=\frac{5}{6}\quad (+)\] Jadi, garis bilangannya akan seperti berikut:
Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaian berada pada interval bertanda $(+)$ karena pertidaksamaan di atas $>0$. \[HP=\boxed{\{x\mid -2<x<-1\; \cup\; x>3 \}}\]

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[\frac{(3x-6)(x+4)}{x\left (2x^2+3x+4 \right )} \ge 0\]
Pembahasan.
Perhatikan bahwa diskriminan dari $2x^2+3x+4$: \[D= b^2-4ac = 3^2-4(2)(4)=9-32=-23<0\] yang berarti definit positif $(a>0 \text{ dan }D<0)$. Jadi, $2x^2+3x+4$ dapat kita abaikan sehingga pertidaksamaan menjadi \[\frac{(3x-6)(x+4)}{x} \ge 0\] Pembuat nol : \begin{align*}3x-6 =0 &\Longleftrightarrow x=2 \\ x+4=0 &\Longleftrightarrow x=-4 \\ x &=0 \end{align*} Syarat : $g(x)\neq 0$. \[x \neq 0\]
Titik Pemecah
Untuk interval $x\le -4$, ambil $x=-5$: \[\frac{(3x-6)(x+4)}{x}=\frac{(3(-5)-6)(-5+4)}{-5} = \frac{(-21)(-1)}{-5}=-\frac{21}{5}\quad (-)\] Untuk interval $-4\le x<0$, ambil $x=-1$: \[\frac{(3x-6)(x+4)}{x} = \frac{(3(-1)-6)(-1+4)}{-1}=\frac{(-9)(3)}{-1}=27\quad (+)\] Untuk interval $0<x\le 2$, ambil $x=1$: \begin{align*}\frac{(3x-6)(x+4)}{x}=\frac{(3(1)-6)(1+4)}{1}=\frac{(-3)(5)}{1}=-15\quad (-) \end{align*} Untuk interval $x\ge 2$, ambil $x=3$: \begin{align*}\frac{(3x-6)(x+4)}{x}=\frac{(3(3)-6)(3+4)}{3}=\frac{(3)(7)}{3}=3\quad (+) \end{align*}
Jadi, garis bilangannya seperti berikut: 
Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda $(+)$, karena pertidaksamaan di atas $\ge 0$. Jadi, \[HP= \boxed{\{x\mid -4\le x<0 \; \cup \; x\ge 2\}}\]

Sekian penjelasan tentang pertidaksamaan rasional. Gimana, sobat nimu? Cukup mudah, bukan? Yang diperlukan hanya banyak latihan kok! Nah, kita juga menyediakan kuis-kuis loh. Kalau teman-teman butuh lebih banyak lagi latihan tentang pertidaksamaan rasional, boleh banget mengakses kuis-kuis yang ada. Kalau teman-teman punya pertanyaan, silahkan tulis di kolom komentar ya!

Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

Posting Komentar