0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Persamaan Linier Tiga Variabel

Halo Sobat Nimu! Pada kali ini kita akan membahas tentang Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV). Seperti namanya, PLTV merupakan salah satu pembangkit listrik bertenaga, bercanda hehe 😃.

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

A. Definisi

Definisi
PLTV atau Persamaan Linear Tiga Variabel merupakan sistem persamaan yang memiliki tiga variabel di setiap persamaan linear nya (umumnya tiga persamaan).

Bentuk umum dari PLTV adalah sebagai berikut: \begin{align*}a_1x +b_1y+c_1z &= k_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z &= k_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z &= k_3 \end{align*} Dengan $x,y,z$ merupakan variabel dan $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3, k_1,k_2,k_3$  merupakan koefisien. Tripel $(x,y,z)$ merupakan solusi atau penyelesaian sistem jika $x,y,z$ memenuhi persamaan tersebut.


B. Metode

Metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan metode substitusi dan metode eliminasi.

1. Metode Subtitusi

Langkah – langkah dari metode substitusi sebagai berikut:

1.   Tinjau salah satu sistem, kemudian nyatakan $x$ dalam $x$ dan $z$, atau $y$ dalam $x$ dan $z$, atau $z$ dalam $x$ dan $y$.

2.  Substitusikan fungsi $x$ atau $y$ atau $z$ ke dua persamaan yang lain sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel.

3.   Selesaikan persamaan linear dua variabel tersebut kemudian solusi nya kita masukkan ke fungsi yang kita nyatakan di awal, sehingga kita memperoleh nilai $x,y,z$.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari persamaan linear tiga variabel berikut. \begin{align*}\begin{cases}x-2y+3z &= 6\\ 4x-5y+6z & =12 \\ 3x+4y-z &=8\end{cases} \end{align*}
Pembahasan.
Diberikan persamaan \begin{align*}x-2y+3z &= 6\tag{1}\\ 4x-5y+6z & =12 \tag{2}\\ 3x+4y-z &=8 \tag{3}\end{align*}
Langkah 1. Nyatakan $x$ dalam $y$ dan $z$ dari persamaan $(1)$.
\[x = 6+2y-3z\]
Langkah 2. Subtitusi fungsi $x$ ke dua persamaan yang lain. 
Subtitusi ke persamaan $(2)$: \begin{align*}4x-5y+6z &= 12\\ 4(6+2y-3z)-5y+6z &= 12 \\ 24+8y-12z-5y+6z &= 12 \\ 3y - 6z &= 12-24 \\ 3y-6z &= -12 \end{align*}
Subtitusi ke persamaan $(3)$: \begin{align*}3x + 4y- z &= 8 \\ 3(6+2y-3z) + 4y-z &= 8\\18 + 6y - 9z + 4y - z &= 8 \\ 10y - 10z &= 8-18 \\ 10y-10z &= -10\end{align*}
Maka kita miliki persamaan linier dua variabel, yaitu
\begin{align*}3y-6z &= -12 \\ 10y-10z &=-10\end{align*}
Langkah 3. Selesaikan persamaan linier dua variabel tersebut. 

Kita akan selesaikan dengan metode substitusi juga. Nyatakan $y$ dalam $z$, \begin{align*} 3y &=6z-12\\y &= \frac{6z-12}{3} \\ y &= 2z-4\end{align*} Kemudian substitusi ke persamaan ke $(2)$, sehingga \begin{align*}10(2z-4) -10z &= -10 \\ 20z - 40-10z &= -10\\ 10z &= -10+40\\ 10z &= 30 \\ z &= \frac{30}{10}\\ z &= 3 \end{align*} Substitusi $z=3$ ke persamaan $y=2z-4$ maka diperoleh \[y= 2(3) - 4 = 6-4=2\] sehingga nilai $y=2$.

Kemudian substitusi nilai $y$ dan $z$ ke persamaan $x=2y-3z+6$. \begin{align*}x &= 2y-3z+6 \\ x &= 2(2) - 3(3) + 6\\ x &= 4-9+6 \\ x &= 1 \end{align*} Sehingga diperoleh solusi $(x,y,z)$ yaitu $(1,2,3)$.

2. Metode Eliminasi

Langkah – langkah dari metode substitusi sebagai berikut:

1.    Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel.

2.    Selesaikan persamaan linear dua variabel tersebut.

3.  Substitusikan solusi persamaan linear dua variabel tersebut ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang kita eliminasi sebelumnya dan kita memperoleh nilai $x,y,z$.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari persamaan linear tiga variabel berikut. \begin{align*}\begin{cases}x-2y+3z &= 6\\ 4x-5y+6z & =12 \\ 3x+4y-z &=8\end{cases} \end{align*}
Pembahasan.
Diberikan persamaan \begin{align*}x-2y+3z &= 6\tag{1}\\ 4x-5y+6z & =12 \tag{2}\\ 3x+4y-z &=8 \tag{3}\end{align*}
Langkah 1. Eliminasi $z$ dengan $2\times (1)- (2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}2x-4y+6z &= 12 \\ 4x - 5y+6z &= 12  \end{aligned} }{\begin{aligned} -2x +y &= 0\end{aligned}}\quad - \end{align*} Eliminasi $z$ dengan $(1) + 6\times (3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}4x-5y+6z &= 12\\18x+24y-6z &= 48 \end{aligned}}{\begin{aligned}22x +19y &= 60\end{aligned}}\quad + \end{align*}
Kita memiliki persamaan linier dua variabel \begin{align*}-2x+y &= 0 \tag{4}\\ 22x+19 y&=60\tag{5} \end{align*}
Langkah 2. Selesaikan dengan eliminasi $y$, $19\times (4) - (5)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}-38x + 19y &= 0 \\22x+19y &= 60 \end{aligned}}{\begin{aligned}-60x &= -60 \\ x &= 1\end{aligned}} \quad -\end{align*} 
Langkah 3. Subtitusikan nilai $x$ ke persamaan $(4)$: \begin{align*}-2x +y &= 0 \\ -2(1) + y &= 0\\ -2 +y &= 0 \\ y &= 2 \end{align*} Subtitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan $(1)$: \begin{align*}x-2y+3z  &= 6 \\ 1-2(2) + 3z &= 6 \\ 1-4+3z &= 6 \\ -3+3z &= 6 \\ 3z &= 6+3 \\ 3z &= 9\\ z &= 3 \end{align*} Sehingga diperoleh solusi $(x,y,z)$ adalah $(1,2,3)$.

C. Contoh Soal

Setelah kalian memahami tentang apa itu dan metode penyelesaian persamaan linear tiga variabel, sekarang saat nya kita latihan soal!

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari \begin{align*}3x + 4y-2z &= 44\\x-5y + 4z &=1\\ 3x+2y+z &= 58 \end{align*}
Pembahasan.
Diberikan persamaan \begin{align*}3x+ 4y-2z &= 44 \tag{1} \\ x-5y + 4z &=1 \tag{2} \\ 3x+2y+z &= 58 \tag{3} \end{align*}

Kita akan selesaikan dengan metode substitusi.

Nyatakan $x$ dalam $y$ dan $z$ di persamaan $(2)$:
\[x=5y-4z+1\]
Subtitusikan ke persamaan $(1)$. \begin{align*}3x+4y-2z &= 44\\ 3(5y-4z+1)+4y-2z &= 44\\ 15y-12z+3+4y-2z &= 44 \\ 19y - 14z &= 41 \tag{4} \end{align*}
Subtitusikan ke persamaan $(2)$. \begin{align*}3x+2y+z &= 58 \\ 3(5y-4z+1) + 2y+z &= 58 \\ 15y-12z + 3 +2y+z &= 58\\ 17y - 10z &= 55 \tag{5} \end{align*}
Selesaikan dengan eliminasi $11\times (3)-14 \times (4)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}209y -154z &= 451 \\ 238y -154z &= 770 \end{aligned}}{\begin{aligned}-29y &= -319 \\ y &= \frac{-319}{-29} \\ y &= 11 \end{aligned}}\quad - \end{align*} Subtitusi nilai $y$ ke persamaan $(4)$, maka \begin{align*}19y - 14z &= 41 \\ 19(11)-14z &= 41 \\ 209 -14z &= 41 \\ -14z &= 41-209 \\ -14z &= -168 \\ z &= \frac{-168}{-14} \\ z &= 12\end{align*} Subtitusikan nilai $y$ dan $z$ pada persamaan $(2)$: \begin{align*}x - 5y + 4z &= 1 \\ x- 5(11) + 4(12) &= 1 \\ x - 55 + 48 &= 1 \\ x -7 &= 1 \\ x &= 1+7 \\ x&= 8 \end{align*} Sehingga solusi $(x,y,z)$ adalah $\boxed{(8,11,12)}$.

Contoh 2

Tentukan solusi $(x,y,z)$ pada persamaan berikut. \begin{align*}5x-3y-4z &= 86 \\ 2x+7y+5z &=95 \\ 3x+4y - 2z &=103 \end{align*}
Diberikan persamaan \begin{align*}5x-3y-4z &= 86 \tag{1}\\ 2x+7y+5z &=95 \tag{2}\\ 3x+4y - 2z &=103 \tag{3}\end{align*}Kita akan selesaikan dengan metode eliminasi. Eliminasi $x$ pada persamaan $(1)$ dan $(2)$, dengan $2\times (1) - 5\times (2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}10x - 6y - 8z &= 172 \\ 10x + 35y + 25z &= 475\end{aligned}}{\begin{aligned}-41y - 33z &= -303 \\ 41y+19z &= 79 \end{aligned}}\quad -\end{align*} Eliminasi persamaan $x$ pada persamaan $(2)$ dan $(3)$, dengan $3\times (2) - 2\times (3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}6x +21y + 15z &= 285\\ 6x+8y -4z &= 206 \end{aligned}}{\begin{aligned}13y + 19z &= 79 \end{aligned}} \end{align*}\quad -  \end{align*} Kita dapatkan persamaan dua variabel \begin{align*} 41y +33z &= 303 \tag{4} \\ 13y +19z &= 79 \tag{5} \end{align*} Selesaikan dengan eliminasi $y$, dengan $13\times (3)- 41\times (4)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned} 533y + 429z &= 3939 \\ 533y +779z &= 3239 \end{aligned}}{\begin{aligned}-350z &= 700 \\ z &= -2\end{aligned}}\quad -\end{align*} Subtitusikan nilai $z$ pada persamaan $(4)$: \begin{align*}41y+33z &= 303 \\ 41y + 33(-2) &= 303 \\41y - 66 &= 303 \\ 41y &= 303+66\\ 41y &= 369 \\ y &= 9  \end{align*} Subtitusikan nilai $y$ dan $z$ pada persamaan $(1)$: \begin{align*} 5x-3y-4z &= 86 \\ 5x - 3(9) - 4(-2) &= 86\\ 5x - 27 + 8 &= 86 \\ 5x - 19 &= 86 \\ 5x &= 105 \\ x &= 21\end{align*} Jadi, solusi $(x,y,z)$ adalah $\boxed{(21,9,-2)}$.

Contoh 3

Diberikan persamaan berikut: \begin{align*} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} + \frac{1}{z} &= 9\\ \frac{3}{x} - \frac{4}{y} + \frac{2}{z} &= 3 \\ \frac{2}{x} + \frac{5}{y} - \frac{1}{z} &= 5\end{align*} Tentukan nilai dari $xyz$.
Pembahasan.
Misalkan \[\frac{1}{x}=a,\quad \frac{1}{y} = b,\quad \frac{1}{z} =c\] Sehingga persamaan menjadi \begin{align*}4a + 3b + c &= 9 \tag{1} \\ 3a - 4b + 2c &= 3 \tag{2} \\ 2a + 5b - c &=5 \tag{3} \end{align*} Eliminasi $c$ dengan $2\times (1) - (2)$: \begin{align*} \frac{\begin{aligned}8a +6b +2c &= 18 \\ 3a -4b+2c &= 3\end{aligned}}{\begin{aligned}5a+10b &= 15\end{aligned}}\quad -\end{align*} Eliminasi $c$, dengan $(2) + 2\times (3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}3a-4b+2c &= 3 \\ 4a+10b -2c &= 10 \end{aligned}}{\begin{aligned}7a+6b &= 13\end{aligned}} \quad +\end{align*} Kita punya persamaan dua variabel \begin{align*}5a+10b &= 15 \tag{4}\\ 7a+6b &= 13 \tag{5}\end{align*} Eliminasi $b$ dengan  $3\times (4) - 5\times (5)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}15a + 30b &= 45 \\ 35a + 30b &= 65 \end{aligned}}{\begin{aligned}-20a &= -20 \\ a &= 1\end{aligned}}\quad - \end{align*} Subtitusi nilai $a$ ke persamaan $(4)$: \begin{align*}5a+10b &= 15 \\ 5(1) +10b &= 15 \\ 5+10b &= 15 \\ 10b &= 15-5 \\ 10b &= 10 \\ b &= 1 \end{align*} Subtitusikan nilai $a$ dan $b$ ke persamaan $(1)$: \begin{align*}4a+3b + c &= 9 \\ 4(1) + 3(1) + c &= 9 \\ 4+3 +c &= 9 \\ 7+c &= 9 \\ c &= 2 \end{align*} Kita dapatkan \[a=1,\quad b=1,\quad c=2\] Karena $\displaystyle a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}$, maka \[\frac{1}{x}=1,\quad \frac{1}{y} =1,\quad \frac{1}{z}=2\] sehingga $x=1,y=1,$ dan $\displaystyle z=\frac{1}{2}$. Maka \[xyz = 1 \times 1\times \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}}\]

Contoh 4

Diketahui $p,q,$ dan $r$ merupakan penyelesaian dari \begin{align*} \frac{p+q}{pq} &= \frac{4}{3} \\ \frac{q+r}{qr} & = \frac{8}{15} \\ \frac{r+p}{rp} &= \frac{6}{5}\end{align*} Tentukan nilai dari $p,q,$ dan $r$.
Subtitusi.
Perhatikan bahwa \[\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\] Maka persamaan menjadi \begin{align*}\frac{1}{p} + \frac{1}{q} &= \frac{4}{3} \\ \frac{1}{q} + \frac{1}{r} &= \frac{8}{15} \\ \frac{1}{r} + \frac{1}{p} &= \frac{6}{5} \end{align*} Misalkan \[\frac{1}{p}=a,\quad \frac{1}{q} = b,\quad \frac{1}{r}=c\] Maka persamaan menjadi \begin{align*} a+b &= \frac{8}{15}\tag{1} \\ b+c &= \frac{4}{3} \tag{2}\\ c+a &= \frac{6}{5}\tag{3}\end{align*} Dari persamaan $(1)$, \[a+b=\frac{4}{3} \Longleftrightarrow b = \frac{4}{3} -a \tag{4}\] Subtitusikan $a$ ke persamaan $(2)$: \begin{align*} b+c &= \frac{8}{15}\\ \frac{4}{3} -a + c &= \frac{8}{15} \\ c &= \frac{8}{15} - \frac{4}{3} + a \\ &= \frac{8-20}{15} + a \\  &= -\frac{12}{15}+a\\ c &= -\frac{4}{5}+a\tag{5}\end{align*} Subtitusikan $c$ pada persamaan $(3)$: \begin{align*}c+a &= \frac{6}{5} \\ -\frac{12}{15} + a+a &= \frac{6}{5} \\ 2a &= \frac{6}{5} + \frac{4}{5} \\ 2a &= \frac{10}{5} \\ 2a &= 2 \\ a &= 1  \end{align*} Subtitusi nilai $a$ pada persamaan $(4)$: \begin{align*} c &= -\frac{4}{5} +a \\ &= -\frac{4}{5} + 1 \\ c &= \frac{-4+5}{5} \\ c &= \frac{1}{5} \end{align*} Subtitusikan nilai $a$ pada persamaan $(5)$: \begin{align*}b &= \frac{4}{3} - a \\ b &= \frac{4}{3}-1 \\ b &= \frac{4-3}{3} \\ b &= \frac{1}{3} \end{align*} Kita dapatkan \[a=1,\quad b=\frac{1}{3},\quad c=\frac{1}{5}\] Karena $\displaystyle \frac{1}{p} = a, \frac{1}{q} = b,$ dan $\displaystyle \frac{1}{r} = c$, maka \[\frac{1}{p} = 1,\quad \frac{1}{q} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{r} = \frac{1}{5}\] sehingga $\boxed{p=1,q= 3, r=5}$.
Eliminasi.
Perhatikan bahwa \[\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\] Maka persamaan menjadi \begin{align*}\frac{1}{p} + \frac{1}{q} &= \frac{4}{3} \\ \frac{1}{q} + \frac{1}{r} &= \frac{8}{15} \\ \frac{1}{r} + \frac{1}{p} &= \frac{6}{5} \end{align*} Misalkan \[\frac{1}{p}=a,\quad \frac{1}{q} = b,\quad \frac{1}{r}=c\] Maka persamaan menjadi \begin{align*} a+b &= \frac{8}{15}\tag{1} \\ b+c &= \frac{4}{3} \tag{2}\\ c+a &= \frac{6}{5}\tag{3}\end{align*} Eliminasi persamaan $b$ dengan $(1)-(2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned} a+b &= \frac{4}{3} \\ b+c &= \frac{8}{15} \end{aligned}}{\begin{aligned} a -c &= \frac{4}{3} - \frac{8}{15} \\ a-c &= \frac{20-8}{15} \\ a-c &= \frac{12}{15} \\ a-c &= \frac{4}{5} \end{aligned}}\quad - \end{align*} Dari $(3)$ dan $(4)$, kita punya persamaan dua variabel \begin{align*}c+a &= \frac{6}{5}\tag{3} \\ a-c &= \frac{4}{5}\tag{4} \end{align*} Eliminasi $c$, dengan $(3)+(4)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}c+a &= \frac{6}{5} \\a-c &= \frac{4}{5}  \end{aligned}}{\begin{aligned} 2a &= \frac{10}{5} \\ 2a &= 2 \\ a &= 1 \end{aligned}} \quad + \end{align*} Subtitusi nilai $a$ pada persamaan $(3)$: \begin{align*}c+a &= \frac{6}{5} \\ c+1 &= \frac{6}{5} \\ c &= \frac{1}{5} \end{align*} Subtitusi nilai $a$ pada persamaan $(1)$: \begin{align*}a+b &= \frac{4}{3} \\ b+1 &= \frac{4}{3} \\ b &= \frac{1}{3} \end{align*}Kita dapatkan \[a=1,\quad b=\frac{1}{3},\quad c=\frac{1}{5}\] Karena $\displaystyle \frac{1}{p} = a, \frac{1}{q} = b,$ dan $\displaystyle \frac{1}{r} = c$, maka \[\frac{1}{p} = 1,\quad \frac{1}{q} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{r} = \frac{1}{5}\] sehingga $\boxed{p=1,q= 3, r=5}$.
Solusi Cepat!
Perhatikan bahwa \[\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\] Maka persamaan menjadi \begin{align*}\frac{1}{p} + \frac{1}{q} &= \frac{4}{3} \\ \frac{1}{q} + \frac{1}{r} &= \frac{8}{15} \\ \frac{1}{r} + \frac{1}{p} &= \frac{6}{5} \end{align*} Misalkan \[\frac{1}{p}=a,\quad \frac{1}{q} = b,\quad \frac{1}{r}=c\] Maka persamaan menjadi \begin{align*} a+b &= \frac{8}{15}\tag{1} \\ b+c &= \frac{4}{3} \tag{2}\\ c+a &= \frac{6}{5}\tag{3}\end{align*} Jumlahkan $(1),(2),$ dan $(3)$: \begin{align*}2a+2b+2c &=\frac{8}{15}+\frac{4}{3}+\frac{6}{5} \\ 2(a+b+c) &= \frac{8+20+18}{15} \\ 2(a+b+c) &= \frac{46}{15}\\ a+b+c &= \frac{46}{15} \times \frac{1}{2}\\ a+b+c &= \frac{23}{15} \tag{4}\end{align*} Dengna $(4)-(1)$:\begin{align*} \frac{\begin{aligned}a+b+c &= \frac{23}{15} \\ a+b &= \frac{4}{3} \end{aligned}}{\begin{aligned} c &= \frac{23}{15} - \frac{4}{3} \\ c &= \frac{23-20}{15} \\ c &= \frac{3}{15} \\ c &= \frac{1}{5}\end{aligned}} \quad -\end{align*} Dengan $(4)-(2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}a+b+c &= \frac{23}{15} \\ b+c &= \frac{8}{15} \end{aligned}}{\begin{aligned}a &= \frac{23}{15}-\frac{8}{15} \\ a &=\frac{23-8}{15} \\ a &= \frac{15}{15} \\ a &= 1 \end{aligned}}\quad - \end{align*} Dengan $(4)-(3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}a+b+c & =\frac{23}{15} \\ c+a &=\frac{6}{5}\end{aligned}}{\begin{aligned}b &= \frac{23}{15} - \frac{6}{5} \\ b & = \frac{23-18}{15} \\ b &= \frac{5}{15}\\ b&= \frac{1}{3} \end{aligned}}\quad - \end{align*}Kita dapatkan \[a=1,\quad b=\frac{1}{3},\quad c=\frac{1}{5}\] Karena $\displaystyle \frac{1}{p} = a, \frac{1}{q} = b,$ dan $\displaystyle \frac{1}{r} = c$, maka \[\frac{1}{p} = 1,\quad \frac{1}{q} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{r} = \frac{1}{5}\] sehingga $\boxed{p=1,q= 3, r=5}$.

Contoh 5

Selesaikan sistem persamaan berikut. \begin{align*}\frac{x}{2} = \frac{y}{3} &= \frac{z}{5}\\x+3y+6z &= 15 \end{align*}
Subtitusi.
Perhatikan bahwa \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\Longleftrightarrow x=\frac{2y}{3} \tag{1}\] Dan juga \[\frac{y}{3} = \frac{z}{5} \Longleftrightarrow z=\frac{5y}{3}\tag{2}\] Subtitusikan ke $x+3y+6z=15$, \begin{align*}x+3y+6z &=15 \\ \frac{2y}{3} + 3y + 6\times \frac{5y}{3} &= 15 \\ \frac{2y}{3} + 3y + 10y & = 15 \\ \frac{2y + 9y + 30y}{3} & = 15 \\ \frac{41y}{3} & =15 \\ y &= 15 \times \frac{3}{41} \\ y & = \frac{45}{41} \end{align*} Subtitusikan nilai $y$ ke $(1)$: \[x=\frac{2y}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{45}{41} = \frac{30}{41}\] Subtitusikan nilai $z$ ke $(2)$: \[z=\frac{5y}{3} = \frac{5}{3} \times \frac{45}{41} = \frac{75}{41}\] Jadi, $\displaystyle \boxed{x=\frac{30}{41}, y= \frac{45}{41},z=\frac{75}{41}}$.
Solusi cepat!
Misalkan \[t = \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\]Maka $x=2t, y= 3t,$ dan $z=5t$. Subtitusikan ke $x+3y+6z=15$. Maka \begin{align*}2t + 3(3t) + 6(5t) &=15 \\ 2t + 9t + 30t &= 15\\ 41t &=15 \\ t &=\frac{15}{41} \end{align*} Subtitusikan nilai $t$. Maka \begin{align*}x &=2t = 2\times \frac{15}{41} = \frac{30}{41}\\ y &= 3t = 3\times \frac{15}{41} = \frac{45}{41} \\ z &= 5t = 5 \times \frac{15}{41}=\frac{75}{41} \end{align*} Jadi, $\displaystyle \boxed{x=\frac{30}{41}, y= \frac{45}{41},z=\frac{75}{41}}$.

Contoh 6

Selesaikan sistem persamaan berikut. \begin{align*}\begin{cases}5x-y+3z &=a \\ 5y - z+3x &=b \\ 5z - x +3y &=c \end{cases} \end{align*}
Pembahasan.
Diberikan persamaan \begin{align*}5x-y+3z &= a\tag{1} \\ 5y - z +3x &= b\tag{2} \\ 5z-x+3y &= c \tag{3}\end{align*} Dengan $2\times (1) + (2) + (-1)\times (3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}10x - 2y + 6z &= 2a \\ 5y-z + 3x &= b \\ -5z+x-3y &= -c \end{aligned}}{\begin{aligned}14x &= 2a+b-c \\ x &= \frac{2a+b-c}{14} \end{aligned}}\quad + \end{align*} Dengan $2\times (2) +(3) + (-1)\times (1)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}10y -2z+6x &= 2b\\ 5z-x+3y &= c \\ -5x+y-4z &= -a  \end{aligned}}{\begin{aligned}14y &= 2b+c-a \\ y &= \frac{2b+c-a}{14} \end{aligned}}\quad +\end{align*} Dengan $2\times (3) + (1) + (-1)\times (2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}10z - 2x+6y &= 2c \\ 5x - y + 3z &= a \\ -5y +z-3x &= -b\end{aligned}}{\begin{aligned}14z &= 2c + a-b \\ z &= \frac{2c+a-b}{14} \end{aligned}}  \end{align*} Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah \begin{align*}x &= \frac{2a+b-c}{14} \\ y &= \frac{2b+c-a}{14} \\ z &= \frac{2c+a-b}{14} \end{align*}

Contoh 7

Tentukan tripel $(x,y,z)$ yang memenuhi \begin{align*}\begin{cases}x-y-z &= 5 \\ y-z-x &=1 \\ z-x-y & =-15 \end{cases} \end{align*}
Diberikan persamaan \begin{align*}x-y-z &= 5\tag{1} \\ y-z-x &=1 \tag{2}\\ z-x-y & =-15\tag{3} \end{align*} Kita selesaikan dengan metode eliminasi. Dengan $(2)+(3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}y-z-x & =1\\ z-x-y&= -15 \end{aligned}}{\begin{aligned}-2x &= -14\\ x &= 7 \end{aligned}}\quad + \end{align*} Dengan $(1)+(3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}x -y-z &=5 \\ z-x-y &= -15 \end{aligned}}{\begin{aligned} -2y & = -10\\ y &=5\end{aligned}}\quad + \end{align*} Subtitusikan nilai $x$ dan $y$ ke $(3)$: \begin{align*}z-x-y &= -15 \\ z- 7 -5 &=-15 \\ z -12 &=-15 \\ z &= -3 \end{align*} Jadi, $\boxed{x=7,y= 5,z=-3}$.

Contoh 8

Diberikan \begin{align*}\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} &=0 \\ \frac{1}{x} - \frac{6}{y} - \frac{5}{z} &= 0 \end{align*}Tentukan nilai dari $\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$.
Misalkan $\displaystyle \frac{1}{x} = a, \frac{1}{y} = b,$ dan $\displaystyle \frac{1}{z}=c$. Maka persamaan menjadi \begin{align*}a+2b+3c &=0\tag{1} \\ a-6b-5c &=0 \tag{2}\end{align*} Eliminasi $a$, dengan $(1) - (2)$:\begin{align*}\frac{\begin{aligned} a+2b+3c &=0 \\ a-6b-5c &=0 \end{aligned}}{\begin{aligned}8b + 8c &=0 \\ 8b &= -8c \\ b &=-c \end{aligned}}\quad - \end{align*} Eliminasi $b$, dengan $3\times (1) +(2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}3a + 6b + 9c &=0 \\ a- 6b -5c &=0\end{aligned}}{\begin{aligned}4a + 4c &=0 \\ 4a &=-4c \\ a &=-c \end{aligned}}\quad + \end{align*} Eliminasi $c$, dengan $5\times (1) +3\times (2)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned} 5a + 10b +15c &=0 \\ 3a - 18b -15c &=0\end{aligned}}{\begin{aligned}8a - 8b & = 0 \\ 8a &=8b\\ a &=b \end{aligned}}\quad + \end{align*} Kita dapatkan bahwa \[a=b,\quad b=-c,\quad a=-c\] Karena $\displaystyle \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,$ dan $\displaystyle \frac{1}{z}=c$, maka \[\frac{1}{x} = \frac{1}{y},\quad \frac{1}{y} = -\frac{1}{z},\quad \frac{1}{x}=-\frac{1}{z}\] sehingga diperoleh \[\frac{x}{y} =1,\quad \frac{y}{z} = -1,\quad \frac{z}{x} = -1\] Jadi, \begin{align*}\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} &= 1+(-1)+(-1) \\ &= 1-1-1\\ &=\boxed{-1} \end{align*}

          Itu tadi pembahasan tentang Persamaan Linear Tiga Variabel 😄. Kalau ada yang kalian ingin tanyakan tentang materi diatas, silahkan kirim di kolom komentar. Sampai jumpa di post berikutnya 😁

Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

Posting Komentar