0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Pemecahan Masalah Dengan Menggunakan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Hai, Sobat Nimu! Sebelum sampai ke artikel ini, sebaiknya kalian baca artikel Persamaan Linear Tiga Variabel terlebih dahulu, ya. 

Materi SPLTV bisa banget digunakan dalam kehidupan sehari-hari secara langsung, loh! Tak usah berlama-lama, yuk kita langsung lihat saja contoh penggunaannya!Dan disini kita akan mengaitkannya dengan pertidaksamaan.

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

A. Contoh Soal

Bayangkan kamu dan teman-temanmu, Asep dan Bambang baru saja kembali dari pasar membeli buah. Sesampainya di rumah Asep, ibunya menanyakan harga buah-buah yang mereka beli per kilogramnya. Sayangnya, kalian lupa harga per kilogram karena di pasar kalian cuma asal beli tanpa melihat harga. Meski begitu, kalian ingat harga totalnya.
Asep membeli $3$ kilogram jeruk, $2$ kilogram apel, dan $4$ kilogram mangga seharga $\text{Rp}160.000,00$, Bambang membeli $2$ kilogram jeruk, $2$ kilogram apel, dan $3$ kilogram mangga seharga $\text{Rp}125.000,00$, sementara kamu membeli $1$ kilogram jeruk, $1$ kilogram apel, dan $3$ kilogram mangga seharga $\text{Rp}100.000,00$. Dari informasi yang ada, bisakah kita mencari harga jeruk, apel, dan mangga per kilogram?
Pembahasan.

Pertama, kita tentukan dulu variabel untuk harga tiap buahnya (karena harga tiap buah adalah yang mau dicari, maka dijadikan variabel). Misalnya, kita menganggap harga jeruk sebagai $x$, harga apel sebagai $y$, dan harga mangga sebagai $z$, masing-masing harga per kilogram (kalo kalian bosen sama huruf $x$, $y$, dan $z$ boleh aja pake huruf lain hihi). \begin{align*}x &= \text{harga jeruk} \\ y &= \text{harga apel} \\ z &= \text{harga mangga} \end{align*} Setelah itu, kita bikin soal cerita tadi dalam bentuk persamaan matematika. \begin{align*}3x + 2y+4z = 160.000 &\rightarrow \text{Belanjaan Asep}\tag{1}\\2x+2y+3z =125.000 &\rightarrow \text{Belanjaan Bambang}\tag{2}\\x+y+3z =100.000 &\rightarrow \text{Belanjaan kamu}\tag{3}  \end{align*} *psst untuk memudahkan, kalian bisa aja “hilangin” tiga angka $0$ yang ada di belakang ($.000$). Namun, jangan lupa “ditambahkan” lagi pada jawaban akhir.

Abis itu, tentukan ingin mengerjakan dengan metode eliminasi atau substitusi. Keduanya gampang kok, tapi tergantung masing-masing lebih suka metode apa. Di contoh soal ini akan dibahas cara pengerjaan menggunakan kedua metode secara step-by-step.

1. Subtitusi

Langkah pertama, pilih salah satu dari ketiga bentuk persamaan di atas untuk “dipindah ruas-kan”. Misalnya, kita coba pilih persamaan nomor $(3)$ dan cari persamaan $x$. \begin{align*}x+y+3z &= 100.000\\ x &= 100.000 -y-3z \end{align*} Setelah itu, ke dalam persamaan $(1)$ dan $(2)$ ubah variabel $x$ menjadi $100.000-y-3z$  (karena $x=100.000-y-3z$). 

Persamaan $(1)$: \begin{align*}3x+2y+4z &= 160.000 \\ 3(100.000-y-3z) + 2y+4z &= 160.000 \\ 300.000-3y-9z + 2y+4z &= 160.000 \\ 300.000 -160.000 &= 3y+9z-2y-4z \\ 140.000 &= y+5z \end{align*} 

Persamaan $(2)$: \begin{align*}2x+2y+3z &= 125.000 \\ 2(100.000-y-3z)+2y+3z &= 125.000\\ 200.000 -2y-6z + 2y+3z &= 125.000 \\ 200.000-125.000 &= 2y+6z-2y-3z \\ 75.000 &= 3z \\ z &= 25.000 \end{align*} 

Mantap, kita udah ketemu nilai $z$! Sekarang, kita bisa substitusi $z$ menjadi $z=25.000$ (karena $z=25.000$) ke dalam persamaan $y+5z=140.000$. \begin{align*}y+5z &= 140.000 \\ y+5(25.000) &= 140.000 \\ y+125.000 &= 140.000\\ y &= 140.000-125.000 \\ y &= 15.000 \end{align*} Setelah menemukan $y$ dan $z$, kita tinggal cari $x$, nih. Gampang aja, kalian tinggal pilih salah satu dari persamaan $(1)$, $(2)$, atau $(3)$ untuk disubstitusi. Atau kalo mau lebih cepet, kita tinggal masukkan $y$ dan $z$ ke dalam persamaan \[x=100.000-y-3z\] yang tadi (ini sama aja kayak persamaan $(3)$, sih, cuma ini “versi pindah ruas”).  Untuk contoh ini, yuk kita coba pakai persamaan $(3)$ dalam bentuk $x=100.000-y-3z$.

Diketahui $y=15.000$ dan $z=25.000$. \begin{align*}x &= 100.000-x-3y \\ x &= 100.000 - 15.000 - 3(25.000) \\ x &= 100.000-15.000-75.000 \\ x &= 10.000 \end{align*} Jadi, kita dapatkan $x=10.000,y=15.000$, dan $z=25.000$. harga jeruk adalah $\text{Rp}10.000,00/\text{kg}$, harga apel adalah $\text{Rp}15.000,00/\text{kg}$, dan harga mangga adalah $\text{Rp}25.000,00/\text{kg}$.

2. Eliminasi

Ok biar kalian ga usah scroll ke atas lagi untuk melihat persamaannya, dicopas di sini lagi aja deh. \begin{align*}3x + 2y+4z = 160.000 &\rightarrow \text{Belanjaan Asep}\tag{1}\\2x+2y+3z =125.000 &\rightarrow \text{Belanjaan Bambang}\tag{2}\\x+y+3z =100.000 &\rightarrow \text{Belanjaan kamu}\tag{3}  \end{align*} 

Nah kalo eliminasi, kita pilih dua dari tiga variabel di atas untuk “menghilangkan sementara” satu variabel dengan mengurang atau menambah variabel yang ingin “dihilangkan sementara” agar hasilnya $0$. Misalnya, yuk kita coba pake persamaan $(1)$ dan $(2)$ untuk “menghilangkan” variabel $y$. \begin{align*}3x+2y+4z &= 160.000 \\2x+2y+3z &= 125.000 \end{align*} Agar variabel $y$ hilang, maka harus dikurangi. \begin{align*}\frac{\begin{aligned}3x+2y+4z &= 160.000\\ 2x+2y+3z &= 125.000 \end{aligned}}{\begin{aligned} x+z &= 35.000 \end{aligned}}\quad - \end{align*}

Nah, kita udah ketemu persamaan baru, yaitu persamaan $x+z=35.000$ Sekarang, kita bikin persamaan lain yang juga terdiri dari persamaan $x$ dan $z$ dengan cara yang sama seperti tadi. Kita bisa menggunakan pasangan persamaan $(1)$ dan $(3)$ atau $(2)$ dan $(3)$. Pilih salah satu aja, ya. Kita coba menggunakan persamaan $(2)$ dan $(3)$, ya. \begin{align*}2x+2y+3z &= 125.000\tag{2}\\x+y+3z&= 100.000\tag{3} \end{align*} 

Karena kita mau “menghilangkan” variabel $y$, lagi-lagi kita harus memakai pengurangan. Namun, koefisien $y$ (angka di depan variabel $y$) pada persamaan $(2)$ dan $(3)$ tidak sama, sehingga jika variabel $y$ dikurang hasilnya tidak menjadi $0$. Untuk mengatasinya, persamaan $(3)$ bisa dikalikan $2$ agar koefisien variabel $y$ pada persamaan $(3)$ menjadi $2y$. Ingat! Yang dikalikan $2$ tidak hanya variabel $y$ saja, namun seluruh persamaan $(3)$. Jadinya begini: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}2x+2y+3z &= 125.000\\2x+2y+6z &= 200.000\end{aligned}}{\begin{aligned}-3z &= -75.000 \\ z &= 25.000 \end{aligned}}\quad - \end{align*} 

Nah, ternyata yang tereliminasi (yang jika dikurang hasilnya $0$) nggak hanya variabel $y$, tapi juga variabel $x$. Maka, kita langsung dapat nilai $z$. Langkah selanjutnya, kita bisa masukkan $z=25.000$ ke dalam persamaan $x+z=35.000$.

Diketahui $z=25.000$. \begin{align*}x+z &= 35.000 \\ x+25.000 &= 35.000 \\ x &= 10.000  \end{align*}

Terakhir, kita tinggal cari harga $y$. Kita tinggal masukkan harg $x=10.000$ dan $z=25.000$ yang udah kita temukan ke dalam salah satu dari ketiga persamaan $(1)$, $(2)$ atau $(3)$. Kita coba pakai persamaan $(3)$.

Diketahui $x=10.000$ dan $z=25.000$. \begin{align*}x+y+3z &= 100.000 \\ 10.000 +y+ 3(25.000) &= 100.000 \\ 10.000 + y+75.000 &=100.000 \\ y &= 100.000-10.000-75.000 \\ y &= 15.000 \end{align*} Jadi, kita dapatkan $x=10.000$, $y=15.000$, dan $z=25.000$. Maka, harga jeruk adalah $\text{Rp10.000,00/kg}$, harga apel adalah $\text{Rp15.000,00/kg}$, dan harga mangga adalah $\text{Rp25.000,00/kg}$.

Jadi begitulah cara pengerjaan soal menggunakan substitusi maupun eliminasi. Hasilnya sama saja, kok! Untuk memeriksa apakah hitunganmu sudah benar atau masih salah, tinggal coba masukkan harga $x$, $y$, dan $z$ ke salah satu dari persamaan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$. Kalo mau lebih yakin sih tinggal masukkin ke ketiganya hihi. Yuk kita coba buktikan di persamaan $(1)$. \begin{align*}3x+2y+4z &= 160.000 \\ 3(10.000) + 2(15.000) + 4(25.000) &= 160.000\\ 30.000 +30.000 + 100.000 &= 160.000 \\ 160.000 &= 160.000 \tag{terbukti} \end{align*} Coba lakukan hal yang sama ke persamaan lainnya. Jika hasilnya sesuai dengan persamaan, maka jawabanmu benar.         


B. Contoh Soal

Yuk coba kerjakan soal-soal ini untuk mengukur sejauh mana kamu mengerti materi ini.

Contoh 1

Bu Iboe sedang berada di sebuah toko buku dan ingin membeli novel, komik, dan majalah. Harga satu novel, satu komik, dan satu majalah jika ditotalkan adalah $60.000$; total harga dua novel, tiga komik, dan satu majalah adalah $126.000$; sementara itu, total harga satu novel, dua komik, dan tiga majalah adalah $99.000$. Bu Iboe membeli satu novel, tiga komik, dan dua majalah, dibayar dengan dua lembar uang $75.000$ edisi spesial kemerdekaan Indonesia (asik). Berapakah kembalian yang Bu Iboe dapat?

Misalkan: \begin{align*}x &=\text{ harga novel}\\ y&= \text{ harga komik} \\ z &=\text{ harga majalah} \end{align*} Maka \begin{align*}x+y+z &= 60.000\tag{1} \\ 2x+3y+z &= 126.000 \tag{2} \\ x+2y+3z &= 99.000 \tag{3}\end{align*}

Step 1

Eliminasi salah satu variabel me\nggunakan dua dari tiga persamaan di atas. \begin{align*} \frac{\begin{aligned}2x+3y+z &= 126.000 \\ x+y+z &= 60.000 \end{aligned}}{\begin{aligned} x+2y &= 66.000 \end{aligned}} \quad -\end{align*}

Step 2

Mencari persamaan dua variabel lain yang kedua variabelnya sama seperti persamaan yang ditemukan dari step 1 yaitu persamaan $(a)$, yaitu \[x+2y=66.000\tag{a}\] Artinya, dalam pembahasan ini, persamaan harus memiliki variabel $x$ dan $y$. Dengan eliminasi $3\times (1)$ dan $(3)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}3x+3y+3z &= 180.000\\x+2y+3z &= 99.000 \end{aligned}}{\begin{aligned}2x+y &=81.000 \end{aligned} }\quad - \end{align*}

Step 3

Mencari nilai salah satu variabel menggunakan persamaan dua variabel yang sudah ditemukan, yaitu persamaan $(a)$ dan $(b)$, yaitu \begin{align*}x+2y &= 132.000\tag{a} \\ 2x+y &= 81.000\tag{b} \end{align*} Dengan eliminasi $2\times (a)$ dan $(b)$: \begin{align*}\frac{\begin{aligned}2x+4y &= 132.000 \\ 2x+y &= 81.000 \end{aligned}}{\begin{aligned}3y &= 51.000\\ y &= 17.000 \end{aligned}}\quad - \end{align*}

Step 4

Mencari nilai variabel lain pada persamaan $(a)$ atau $(b)$ dengan mengganti (men-substitusi) $y$ dengan $17.000$ (karena $y=17.000$).

Diketahui $y=17.000$. \begin{align*}x+2y &= 66.000 \tag{a}\\ x+2(17.000) &= 66.000\\x+34.000 &= 66.000 \\ x &= 66.000-34.000\\ x &= 32.000 \end{align*}

Step 5

Mencari nilai variabel terakhir yang belum diketahui. Dalam pembahasan ini, variabel terakhir yang belum diketahui adalah $z$. Gunakan salah satu dari persamaan $(1)$, $(2)$, atau $(3)$ untuk mencari nilai $z$. 

Diketahui $x=32.000$ dan $y=17.000$. \begin{align*}x+y+z &= 66.000\\ 32.000 +17.000+z &= 60.000 \\ 49.000 + y &= 60.000 \\ z &= 60.000-49.000 \\ z &= 11.000 \end{align*}

Step 6

Menghitung belanjaan Bu Iboe dan kembalian yang didapatkan.

Diketahui $x=32.000$, $y=17.000$, dan $z=11.000$.

Bu Iboe membeli satu novel, tiga komik, dan dua majalah. \begin{align*}x+3y+2z &= 32.000 + 3(17.000) + 2(11.000)\\ &= 32.000+51.000+22.000 \\ &= 105.000 \end{align*}

Bu Iboe membayar dengan dua lembar uang $\text{Rp}75.000$. Uang untuk membayar = $2 \times \text{Rp}75.000 =\text{Rp}150.000$. Maka kembaliannya \[\text{Rp}150.000-\text{Rp}105.000 = \boxed{\text{Rp}45.000}\]

Contoh 2

Pak Baphaq ingin membeli permen. Di toko terdapat kotak permen stroberi yang berisi lima permen, kotak permen cokelat berisi empat permen, dan kotak permen mint yang berisi tiga permen. Jika ia membeli $a$ kotak permen stroberi, $b$ kotak permen cokelat, dan empat kotak permen mint maka jumlah semua permen menjadi $40$ biji. Jika ia membeli dua kotak permen stroberi, $b$ kotak permen cokelat, dan $c$ kotak permen mint maka jumlah semua permen menjadi $36$. Jika ia membeli $a$ kotak permen stroberi, tiga kotak permen cokelat, dan $c$ kotak permen mint maka jumlah semua permen menjadi 50. Tentukan $a$, $b$, dan $c$.

Misalkan: \begin{align*}a &= \text{ jumlah kotak permen stroberi}\\ b &= \text{ jumlah kotak permen cokelat}\\ c &= \text{ jumlah kotak permen mint} \end{align*}

Step 1:

Membuat persamaan \begin{align*}5a+4b + 4(3) = 28 &\Leftrightarrow 5a+4b =28\tag{1}\\ 2(5)+4b+3c =26 &\Leftrightarrow 4b+3c26\tag{2}\\ 5a + 3(4)+3c =50 &\Leftrightarrow 5a+3c =38\tag{3} \end{align*}

Step 2:

Eliminasi salah satu variabel menggunakan dua dari tiga persamaan di atas. \begin{align*} \frac{\begin{aligned}5a+4b &= 28 \\ 4b + 3c &= 26 \end{aligned}}{\begin{aligned}5a - 3c &= 2 \end{aligned}}\quad -  \end{align*}

Step 3:

Eliminasi variabel lain dengan persamaan yang didapat dari step 2. \begin{align*}\frac{\begin{aligned}5a+3c &= 38 \\ 5a-3c &= 2\end{aligned}}{\begin{aligned} 6c &= 36 \\ c &= 6 \end{aligned}} \quad - \end{align*}

Step 4

Mencari nilai variabel lain dengan menggunakan persamaan yang memiliki variabel yang nilainya sudah diketahui

Dalam pembahasan ini, $c$ adalah variabel yang sudah diketahui (step 3), jadi gunakan persamaan $(2)$ atau $(3)$ untuk mengerjakan step ini karena keduanya memiliki variabel $c$ yang bisa diubah (disubstitusi) dengan $6$ ($c=6$).

Diketahui $c=6$. \begin{align*}5a -3c &= 2 \\ 5a - 3(6) &= 2 \\ 5a-18 &= 2 \\ 5a &= 20 \\ a &= 4 \end{align*}

Step 5

Mencari nilai variabel terakhir yang belum diketahui. Dalam pembahasan ini, variabel terakhir yang belum diketahui adalah $b$, sehingga gunakan salah satu dari persamaan $(1)$ atau $(2)$ yang memiliki variabel $b$.

Diketahui $c=6$ dan $a=4$. \begin{align*}5a + 4b &= 28 \\ 5(4) + 4b &= 28\\ 20 + 4b &= 28 \\ 4b &= 8\\ b &= 2 \end{align*} Jadi, didapatkan $\boxed{a= 4,b=2,c=6}$.


Nahh, itulah beberapa contoh soal yang melibatkan pemecahan masalah menggunakan SPLTV. Semoga membantu ya, Sobat Nimu! Jika ingin bertanya, silakan tanyakan di kolom komentar, ya! Oh ya, Nimba Ilmu juga menyediakan soal-soal latihan lain melalui kuis, loh! Boleh banget dikerjain biar ngitungnya makin lancer. See ya di artikel-artikel lainnya, dan jangan lupa berlatih terus!

Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

1 komentar

Berkomentarlah dengan sopan dan santun ya :D Jika ingin mendapatkan notifikasi bahwa komentarmu telah dibalas, silahkan tekan kotak "Beri tahu saya".