0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Akurasi Pengukuran

Halo sobat Nimu! Sebelumnya kita telah mempelajari tentang aturan angka penting. Nah, selanjutnya kita akan bersama-sama mempelajari tentang pengukuran. Tahukah kamu bahwa pengukuran yang kita lakukan tidak akan pernah bisa terjamin $100\%$ bernilai tepat? Apakah yang menyebabkan hal ini? Yuk, kita cari tahu di artikel kali ini.


A. Aspek-Aspek Pengukuran

1. Ketelitian dan Ketepatan

Pengukuran dikatakan teliti (akurat) jika hasil pengukuran yang diperoleh lebih dekat dengan nilai benar $x_0$, sedangkan pengukuran dikatakan tepat (presisi) jika hasil pengukuran yang diperoleh pada pengukuran berulang adalah relatif sama dan/atau dekat dengan nilai rata-rata.

2. Kesalahan Dalam Pengukuran

Dalam melakukan pengukuran, seberapapun kehati-hatian kita dalam melakukan pengukuran pastilah akan tetap terdapat kesalahan. Kesalahan dapat dibagi menjadi dua, yaitu kesalahan sistematis dan kesalahan acak.

·     Kesalahan acak disebabkan oleh gerakan-gerakan halus pada kondisi tertentu saat dilakukan pengukuran, seperti meja bergetar dan kebisingan saat melakukan pengukuran.

·      Kesalahan sistematis menyebabkan sekelompok data pengukuran acak yang tersebar konsisten disekitar nilai rata-rata yang cukup berbeda dengan nilai sebenarnya. Kesalahan ini dapat disebabkan oleh kesalahan titik nol dan kesalahan paralaks (posisi melakukan pembacaan).


B. Hasil Dan Ketidakpastian Pengukuran Langsung

Nah, setelah mempelajari kesalahan-kesalahan dalam pengukuran tentunya kamu sudah tahu bukan mengapa pengukuran yang kita lakukan tidak bisa $100\%$ akurat? Pengukuran yang kita lakukan akan selalu dihinggapi oleh ketidakpastian. Pengukuran dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pengukuran langsung dengan alat ukur dan pengukuran tak langsung (misal menggunakan rumus). Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana melaporkan pengukuran langsung.

1. Pelaporan Pengukuran

Sekarang setelah kita melakukan pengukuran dan menghitung ketidakpastiannya, kita harus melaporkan hasil pengukuran tersebut dengan format yang benar.

Pengukuran
Hasil pengukuran selalu dilaporkan bersama dengan ketidakpastiannya. \[x= x_0 \pm \Delta x\] dimana $x$ adalah perkiraan hasil ukur terhadap nilai benar $x_0$ dan ketidakpastian $\Delta x$.
Nilai benar $x_0$  ini biasanya digunakan nilai rata-rata pengukuran (untuk pengukuran berulang) dan nilai pengukuran tunggal (pada pengukuran tunggal). Banyaknya desimal pada nilai benar $x_0$ haruslah sama dengan banyak desimal ketidakpastian. Nilai benar $x_0$ juga harus mengandung angka pasti dan angka taksiran. Beberapa contoh alat ukur massa beserta ketidakpastiannya disajikan dalam tabel berikut.
Ketidakpastian Pengukuran

Beberapa contoh alat ukur massa beserta ketidakpastiannya disajikan dalam tabel berikut.

Ketidakpastian Pengukuran

2. Ketidakpastian Pengukuran Tunggal

Pengukuran tunggal adalah pengukuran yang hanya dilakukan satu kali. Ketidakpastian pengukuran tunggal ini adalah ketidakpastian mutlak alat ukur. Ketidakpastian mutlak berhubungan dengan ketepatan hasil pengukuran. Semakin kecil ketidakpastian ini, maka semakin tepatlah pengukuran yang kita lakukan.

Ketidakpastian Pengukuran Tunggal
Ketidakpastian mutlak alat ukur ini biasanya dihitung dengan mengambil penyimpangan maksimum, yaitu: \[\Delta x = \frac{1}{2} \text{ skala terkecil alat ukur}\]
Dengan menggunakan persamaan ini, maka nilai benar $x_0$ dijamin $100\%$ berada di antara interval $x\pm \Delta x$. 

3. Ketidakpastian Pengukuran Berulang

Ketidakpastian Pengukuran Berulang
Pada pengukuran berulang, nilai ketidakpastian $(\Delta x)$ dapat menggunakan simpangan baku rata-rata sampel pengukuran, yaitu: \begin{align*}\Delta x &= \frac{1}{\sqrt{N}}\times \sqrt{\frac{N\sum x_i^2 - \left (\sum x_i \right )^2}{N-1}}\\ \Delta x &= \sqrt{\frac{\sum (x_i - \overline{x} )^2}{N-1}}\end{align*} dengan $\overline{x}$ rata-rata nilai pengukuran.

Nilai  $\overline{x}$ inilah yang nantinya akan menjadi nilai benar $x_0$. Nah, dengan menggunakan persamaan simpangan baku tersebut, hasil $\Delta x$ dan/atau $\overline{x}$  yang diperoleh sangat mungkin mengandung begitu banyak desimal. Untuk itu, pada pengukuran berulang digunakan aturan berikut:

1.   Jika ketidakpastian relatif sekitar $10\%$, maka $\overline{x}$ berhak atas $2$ angka penting.

2.   Jika ketidakpastian relatif sekitar $1\%$, maka $\overline{x}$ berhak atas $3$ angka penting.

3.   Jika ketidakpastian relatif sekitar $0,1\%$, maka $\overline{x}$ berhak atas $4$ angka penting.


Ketidakpastian Relatif
Nilai ketidakpastian relatif (KR) ini dihitung dengan persamaan: \[\text{KR }= \frac{\Delta x}{\overline{x}} \times 100\%\] Ketidakpastian relatif berhubungan dengan ketelitian pengukuran. Jika nilai KR semakin kecil, maka semakin telitilah pengukuran tersebut.


C. Ketidakpastian Pengukuran Tidak Langsung

Melakukan pengukuran besaran panjang, seperti panjang tali, lebar buku dan tinggi tongkat mudah dilakukan secara langsung dengan menggunakan alat ukur yang sesuai. Akan tetapi, bagaimana dengan pengukuran volume benda atau pengukuran massa jenis benda? Bagaimana ketidakpastian pengukurannya? Nah, temukan jawabannya sendiri setelah mempelajari materi berikut.

1. Jika Semua Pengukuran Dari Pengukuran Tunggal

Ketidakpastian Pengukuran Tunggal Tidak Langsung

2. Jika Semua Pengukuran Dari Pengukuran Berulang

Pengukuran Berulang
Ketidakpastian relatif pada pengukuran berulang tak langsung untuk fungsi $z=kx^ny^m$ dapat dihitung dengan rumus berikut: \[\frac{\Delta z}{\overline{z}} = \sqrt{\left (n \times \frac{\Delta x}{\overline{x}} \right )^2 + \left (m \times \frac{\Delta y}{y} \right )^2}\]dimana $\Delta x$ adalah simpangan baku pengukuran $x$, begitupun untuk $\Delta y$.

3. Jika Semua Pengukuran Dari Pengukuran Tunggal dan Berulang

Pengukuran Tunggal dan Berulang

Ketidakpastian relatif pada pengukuran jenis ini untuk fungsi $z=kx^ny^m$ dapat dihitung dengan persamaan: \[\frac{\Delta z}{\overline{z}} = \sqrt{\left (\frac{2n}{3} \times \frac{\Delta x}{\overline{x}} \right )^2 + \left (m \times \frac{\Delta y}{y} \right )^2}\] dimana $\Delta x$ adalah simpangan baku pengukuran berulang $x$, dan $\Delta y$ adalah simpangan baku pengukuran tunggal besaran $y$.


D. Contoh Soal

Contoh 1

Anita mengukur panjang sebuah buku sebanyak $4$ kali. Hasil pengukuran satu-satu Anita dicatat dalam tabel berikut.
Pengukuran ke- Panjang Buku
$\text{I}$ $15,00\pm 0,05$ cm
$\text{II}$ $14,00\pm 0,05$ cm
$\text{III}$ $15,00\pm 0,05$ cm
$\text{IV}$ $15,05\pm 0,05$ cm
Jika Anita ingin melaporkan hasil pengukuran keseluruhan hasil pengukurannya, bagaimanakah Anita harus menuliskan hasil pengukuran beserta ketidakpastiannya? Dapatkah kamu menyebutkan apa alat ukur yang mungkin dipakai Anita?
Pembahasan.

Anita melakukan pengukuran berulang, artinya pendekatan nilai benar  dilakukan dengan menghitung nilai rata-rata pengukuran, sedangkan ketidakpastiannya dihitung menggunakan simpangan baku rata-rata sampel.

Rata-rata hasil pengukuran $(\overline{x})$:\begin{align*}\overline{x} &= \frac{x_{\text{I}} + X_{\text{II}} + x_{\text{III}} + x_{\text{IV}}}{n} \\ &= \frac{15,00 \text{ cm} + 14,00 \text{ cm}+15,00 \text{ cm}+ 15,05\text{ cm}}{4}\\ &= \frac{59,05\text{ cm}}{4} \\ &= 14,76 \text{ cm} \end{align*}Perhatikan bahwa bilangan penting pada perhitungan $\overline{x}$  adalah $14,76$ cm ($4$ angka penting) dan bilangan eksak $4$ (nilai $n$) sehingga hasil $\overline{x}$  hanya boleh mengandung angka penting sebanyak angka penting pada bilangan pentingnya (yaitu $4$ angka penting).

Simpangan baku rata-rata sampel $(\Delta x)$: \[\Delta x = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \overline{x} )^2}{N-1}}\] Agar lebih mudah melakukan perhitungan, kita akan melakukan tabulasi.

Tabulasi Perhitungan
Sehingga \begin{align*}\Delta x &= \sqrt{\frac{\sum (x_i-\overline{x} )^2}{N-1}}\\ &= \sqrt{\frac{0,7769 \; \text{cm}^2}{4-1}} \\ &= \sqrt{\frac{0,7769\;\text{cm}^2}{3}}\\ &= \sqrt{0,2590 \; \text{cm}^2} \\ &= 0,5089 \; \text{cm}\end{align*}Ketidakpastian relatif (KR): \begin{align*}\text{KR} &= \frac{\Delta x}{\overline{x}} \times 100\% \\ &=  \frac{0,5089 \; \text{cm}}{14,76 \; \text{cm}} \times 100\%\\ &= 0,03448 \times 100\% \\ &= 3,448\% \end{align*} Karena KR sekitar $1\%$ (diantara $1\%-10\%$), maka hasil pengukuran akan dilaporkan dengan $3$ angka, sehingga pelaporan panjang buku Anita adalah: \begin{align*}x &=  (\overline{x}\pm \Delta x) \; \text{ cm} \\ &=(14,76 \pm 0,5089) \; \text{cm}\\ &= (14,8\pm  0,509) \text{ cm} \\ &= (14,8 \pm 0,51 )\;\text{cm} \\ &= (14,8 \pm 0,5) \; \text{cm}  \end{align*} Perhatikan bahwa kita harus selalu konsisten dengan aturan, yaitu banyak desimal hasil pengukuran harus sama dengan banyak desimal ketidakpastian. Ketidakpastian pengukuran satu-satu menunjukkan bahwa sangat mungkin Anita mengukur panjang buku menggunakan mistar/penggaris.

Contoh 2

Tono dan temannya melakukan untuk menentukan massa jenis kelereng dengan merujuk pada persamaan: \[\rho = \frac{m}{V}\]Alat ukur yang digunakan Tono adalah neraca ohauss $311$ dan jangka sorong. Data percobaan yang diperolehnya adalah sebagai berikut.
Laporkanlah hasil pengukuran massa jenis benda A, B, C, D beserta ketidakpastiannya!
Pembahasan.

Tono dan temannya hanya melakukan pengukuran langsung pada diameter kelereng dan massa benda. Pada pengukuran massa jenis diperlukan besaran volume benda, sehingga Tono dan temannya akan melakukan pengukuran tak langsung pada volume benda melalui data pengukuran tunggal diameter kelereng.

Ketidakpastian relatif pengukuran tak langsung volume benda ini ditinjau dari persamaan volume kelereng: \begin{align*}V &= \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \left (\frac{d}{2} \right )^3\\ &= \frac{4}{3}\pi \times \frac{d^3}{8}\\ &= \frac{1}{6}\pi d^3 \end{align*} adalah:\[\frac{\Delta V}{V}=3 \left |\frac{\Delta d}{d} \right| \] sehingga untuk $\pi =3,14$ diperoleh:

Perhitungan volume benda tersebut menghasilkan pelaporan data sebagai berikut.

Kita masih akan konsisten dengan aturan, yaitu banyak desimal hasil pengukuran sama dengan banyak desimal ketidakpastiannya.

Dari persamaan: \[\rho = \frac{m}{V}\] diperoleh ketidakpastian relatif pengukuran massa jenis $(\rho)$ adalah:\[\frac{\Delta \rho}{\rho} =\left | \frac{\Delta m}{m} \right | + \left | \frac{\Delta V}{V} \right |\] Setelah itu, kita bisa menentukan massa jenis masing-masing benda. Data perhitungan massa jenis masing-masing benda disajikan dalam tabel berikut.


Contoh 3

Data pengukuran Ani, Rani, dan Budi terhadap tinggi kaki meja menggunakan mistar dengan skala terkecil 0,1 cm disajikan dalam tabel berikut.
Jika tinggi kaki meja sebenarnya adalah $44,40$ cm. Pengukuran siapakah yang paling tepat dan teliti?
Pembahasan.
Pengukuran dikatakan teliti (akurat) jika hasil pengukuran yang diperoleh lebih dekat dengan nilai benar $x_0$, sedangkan pengukuran dikatakan tepat (presisi) jika hasil pengukuran yang diperoleh pada pengukuran berulang adalah relatif sama dan/atau dekat dengan nilai rata-rata.
Untuk memperoleh pendekatan terhadap nilai benar  kita dapat menggunakan nilai rata-rata pengukuran tersebut. Misalkan nilai rata-rata pengukuran Ani, Rani dan Budi berturut-turut adalah $x_A,x_R$, dan $x_B$. \begin{align*}x_A &=\frac{\sum x}{n}\\ &= \frac{45,20 \;\text{cm}+44,90\;\text{cm}+45,15\;\text{cm}+46,10\;\text{cm}}{4}\\ &= 45,34\;\text{cm}\\ x_R &=\frac{\sum x}{n}\\ &= \frac{39,85 \; \text{cm}+41,70\;\text{cm}+47,30\;\text{cm}+43,20\;\text{cm}}{4}\\ &= 43,01\;\text{cm}\\x_B &= \frac{\sum x}{n}\\ &=\frac{44,80\;\text{cm}+44,70\;\text{cm}+44,90\;\text{cm}+45,20\;\text{cm}}{4} \\ &=44,90\;\text{cm} \end{align*} 

Dari hasil nilai rata-rata tersebut terlihat bahwa pengukuran yang paling dekat dengan nilai sebenarnya ($44,40$ cm) adalah pengukuran yang dilakukan oleh Budi. Hal ini dapat diperkuat dengan menghitung ketidakpastian relatifnya. Ketelitian suatu pengukuran berkaitan dengan ketidakpastian relatif pengukuran, sehingga: \begin{align*}\frac{\Delta x_A}{x_A}\times 100\% &= \frac{0,5250\;\text{cm}}{45,34\;\text{cm}}\times 100\%=1,16\%\\ \frac{\Delta x_R}{x_R}\times 100\% &= \frac{3,170\;\text{cm}}{43,01\;\text{cm}}\times 100\%=7,37\%\\ \frac{\Delta x_B}{x_B}\times 100\% &= \frac{0,2160\;\text{cm}}{44,90\;\text{cm}}\times 100\%=0,48\%\end{align*}

Ketidakpastian relatif yang terkecil ada pada pengukuran Budi, sehingga pengukuran Budi adalah yang paling teliti.

Pengukuran yang paling tepat dapat dilihat dari nilai ketidakpastian mutlaknya. Dari data diperoleh: \begin{align*}\Delta x &= 0,5250 \; \text{cm}\tag{Ani}\\\Delta x &= 3,170 \;\text{cm}\tag{Rani} \\ \Delta x &= 0,2160 \; \text{cm}\tag{Budi} \end{align*} 

Jika $\Delta x$ tidak diketahui pada soal, kita dapat mencarinya dengan menggunakan persamaan simpangan baku rata-rata sampel. Pengukuran paling tepat akan memiliki $\Delta x$ paling kecil. Hal ini berarti pengukuran paling tepat dilakukan oleh Budi.

Contoh 4 (Integrasi)

Pada tahun 2017 lalu Nanda menjadi wakil kota Banjarmasin dalam Perkemahan Lokakarya Keterampilan Dasar Navigasi. Pada suatu sesi, regu Nanda diminta untuk menyeberangi satu dari tiga sungai yang ada. Agar mereka selamat dari arus sungai, tim juri memberitahukan bahwa seluruh regu harus memperkirakan kecepatan arus tiap-tiap sungai. Nanda hanya diberikan alat-alat berikut untuk memperkirakan laju arus sungai:
1). Mistar $100$ cm sebanyak 3 buah dengan ketelitian $1$ mm
2). Stopwatch dengan ketidakpastian $0,01$ detik
Nanda dan regunya kemudian melemparkan kayu ringan dari titik $A$ di sungai dan membiarkannya mengalir ke titik $B$ yang berjarak $x$ meter dari $A$ serta mencatat waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut. Data yang diperoleh nanda setelah empat kali percobaan adalah sebagai berikut.
Agar Nanda selamat, ia harus menyeberang sungai dengan laju arus yang paling kecil. Sungai manakah yang akan diseberangi Nanda dan rekannya?
Pembahasan.
Untuk mendapatkan laju arus terkecil kita harus menghitung pendekatan terhadap nilai benar $v_0$, yaitu dengan menggunakan laju arus rata-rata $\overline{v}$.

Perhitungan Laju Arus

Laju arus sungai dihitung dengan rumus: \[\overline{v} = \frac{x}{\overline{t}}\] dengan $x$ adalah jarak $AB$ dan $t$ adalah waktu tempuh. Ketidakpastian Mengingat jarak $x$ untuk sungai $E$, $F$, dan $G$ berturut-turut adalah $3,00$ m; $4,00$ m, dan $3,00$ m, data laju arus disajikan dalam tabel berikut. \begin{align*}\Delta x &= 0,05\;\text{cm}=0,0005\text{ m}\\\Delta t &= 0,01 \; \text{s} \end{align*}

Perhatikan bahwa pengukuran laju arus adalah pengukuran tak langsung dengan besaran $x$ diukur melalui pengukuran tunggal dan $t$ melalui pengukuran berulang, sehingga:\[\frac{\Delta v}{\overline{v}}=\sqrt{\left (\frac{\Delta x}{\overline{x}} \right )^2 + \left (\frac{2}{3} \times \frac{\Delta t}{t} \right )^2}\] Nilai $\Delta \overline{t}$ dicari dengan simpangan baru rata-rata sampel, yaitu:\[\Delta \overline{t}=\sqrt{\frac{\sum (t_i - \overline{t} )^2}{N-1}}\]

Sehingga diperoleh bahwa:

Berdasarkan data tersebut, terlihat bahwa laju arus terkecil adalah Sungai E. Jadi, kemungkinannya, Nanda dan rekannya akan menyeberangi sungai E.


Yak begitu penjelasan mengenai akurasi pengukuran. Bila ada yang dibingungkan, silahkan bertanya ya! 😁 Sampai bertemu di post selanjutnya!
Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

Posting Komentar