0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Soal 2 IMO 2020

Halo sobat nimu! Aku ada soal yang menarik! Soal ini merupakan soal International Mathematical Olympiad atau yang biasa disebut IMO. Pada IMO tahun ini, Indonesia berhasil meraih $2$ emas, $2$ perunggu, dan $2$ honourable mention. IMO tahun ini cukup berbeda. Peserta tidak bisa mengerjakan di satu tempat yang sama karena pada masa pandemi. Sehingga cukup dilakukan pemantauan lewat kamera saja ๐Ÿ˜

Sumber: www.imo-official.org

Ketika aku melihat soal hari pertama, proporsinya yaitu GAC (Geometry-Algebra-Combinatoric). Dan soal hari kedua, proporsinya CCC (Combinatoric-Combinatoric-Combinatoric) atau CNC (Combinatoric-Number Theory-Combinatoric). Karena aku sangat lemah di kombinatorik, soal hari kedua membuatku tidak ada keingingan untuk mencoba ๐Ÿ˜’ Proporsi C yang lebih banyak, menurutku Stanve akan mendapatkan emas. Begitu juga dengan Aaron. Dan ternyata dugaanku benar.
Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!

IMO 2020/P2

Ada soal yang menurutku menarik. Sudah lama soal semacam ketaksamaan atau inequality tidak disajikan di IMO. Soal tersebut merupakan soal nomor $2$ pada hari pertama. Dapat dikatakan bahwa soal ini soal termudah kedua setelah soal nomor $1$. Adapun soalnya seperti berikut.
IMO 2020/P2
Bilangan real $a,b,c,d$ memenuhi $a\ge b\ge c \ge d>0$ dan $a+b+c+d=1$. Buktikan bahwa \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d <1\]
Ada banyak tekhnik yang dapat dilakukan untuk membuktikan ketaksamaan. Yang terpikir oleh saya, soal ini berkaitan dengan perkalian dan penjumlahan (dari yang diketahui). Kemungkinan soal ini memanfaatkan $AM\ge GM$, yaitu sebagai berikut.
Teorema $AM\ge GM$
Untuk $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ bilangan real positif, maka \[\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2x_3\cdots x_n}\]
Melihat pangkat dari bentuk perkalian tersebut, hal ini bukan sekedar $AM\ge GM$ seperti yang diatas. Namun, memanfaatkan Weighted $AM\ge GM$. 
Weighted $AM\ge GM$
Untuk $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,$ bilangan real positif dan $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n$ bilangan asli, maka \[\frac{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3+\cdots + \alpha_nx_n}{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_n} \ge \sqrt[\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_n]{x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3}\cdots x_n^{\alpha_n}}\] Atau dapat dituliskan dengan \[\sum_{i=1}^{n}\alpha_ix_1 \ge \left (\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \right )\sqrt[\sum_{i=1}^{n}\alpha_i]{\prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i}}\]
Saya membutuhkan waktu berjam-jam soal ini. Ide pertama yang sudah kudapat, dari Weigted $AM\ge GM$,
\begin{align*}\frac{a\cdot a + b\cdot b + c\cdot c + d\cdot d }{a+b+c+d} &\ge \sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d} \\ \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{1} &\ge \sqrt[1]{a^ab^bc^cd^d}\\ a^2+b^2+c^2+d^2 &\ge a^ab^bc^cd^d \end{align*} Selanjutnya, kita dapat membuktikan bahwa
\[1> (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right )\] Ketika kuekspansikan bentuk tersebut, bentuk yang didapatkan kurang bagus untuk menghubungkannya dengan $a+b+c+d=1$. Melihat bentuk ekspansi yang berupa bentuk kubik, hal ini membuat saya termotivasi untuk membuat \[1 = (a+b+c+d)^3\] Sehingga kita ingin membuktikan bahwa \[(a+b+c+d)^3 > (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right )\] Kuubah menjadi \[(a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right )>0\] Disini, aku cukup stuck dan tidak menemukan bentuk bagus atau bentuk pemfaktoran. Secara terpaksa, saya ekspansikan bentuk tersebut. Sehingga diperoleh bentuk \begin{align*}6abc+6bcd+6acd+6abd +a^2b+2ab^2+2ac^2+2ad^2+bd^2\\  -a^2d - b^3 - b^2d - 2c^3-2c^2d - 3d^3>0 \end{align*} Mulai stuck lagi. Apa yang bisa dilakukan dengan bentuk ini. Setelah agak cukup lama, kucoba untuk mengelompokkannya seperti berikut.
\begin{align*}&6abc+6bcd+6acd+6abd+a^2 (b-d)+b^2(2a-b-d)\\& +c^2(2a+b-2c-d)+d^2(2a+b-3d)>0\tag{$*$} \end{align*} Yes dan bentuk ini cukup bagus. Akhirnya ada jalan keluar dengan memanfaatkan $a\ge b \ge c \ge d>0$. Karena $a,b,c,d$ positif, jelas bahwa \[6abc+6bcd+6acd+6abd >0\] Karena $b\ge d$, maka \[a^2(b-d) \ge a^2(d-d) = 0 \] Karena $a\ge b\ge d$, maka \[b^2 (2a-b-d) \ge b^2(2a-a-a)=0\] Karena $a\ge b\ge c\ge d$, maka \[c^2(2a+b-2c-d) \ge c^2(2b+b-2b-b) =0\] Karena $a\ge b\ge c$, maka \[d^2(2a+b-3d) \ge d^2(2b+b-3b)=0\]  Dengan menjumlahkan semuanya, akan diperoleh bentuk $(*)$. Maka terbukti.
$\blacksquare$
Tapi, metode pembuktian diatas tidak dibenarkan. Karena menganggap bahwa ketaksamaan tersebut benar. Maka kita lakukan metode mundur, dari bawah ke atas.

Contoh Solusi IMO 2020/P2

Klaim.

Berlaku \[(a+b+c+d)^3> (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right ) \]
Bukti. Tinjau \begin{align*}&= (a+b+c+d)^3 - (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2\right ) \\ &= 6abc+6bcd + 6acd + 6abd +a^2b + 2ab^2 + 2ac^2 +2ad^2 + bc^2 + bd^2 \\ &- a^2d-b^3 - b^2d - 2c^3 - c^2d - 3d^3\\ &= 6(abc+bcd+acd+abd) +a^2 (b-d) + b^2 (2a-b-d) +c^2 (2a+b-2c-d)\\ &+d^2 (2a+b-3d) \end{align*} Karena $a,b,c,d>0$, maka jelas \[6(abc+bcd+acd+abd) >0\] Tinjau bahwa $a\ge b\ge c\ge d$. Maka \begin{align*}a^2(b-d) &\ge 0 \\ b^2(2a-b-d) &\ge 0 \\ c^2(2a+b-2c-d) &\ge 0 \\ d^2 (2a+b-3d) &\ge 0 \end{align*} Jumlahkan semuanya, sehingga kita peroleh bahwa \begin{align*}&6(abc+bcd+acd+abd) +a^2 (b-d) + b^2 (2a-b-d) +c^2 (2a+b-2c-d)\\ &+d^2 (2a+b-3d) >0 \end{align*} Hal ini menunjukkan bahwa \[(a+b+c+d)^3 > \left (a+2b+3c+4d \right)\left (a^2+b^2+c^2+d^2 \right )\] Klaim terbukti.
Dari Weighted $AM\ge GM$, maka \[a^2+b^2+c^2+d^2\ge (a+b+c+d)\sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\] Karena $a+b+c+d=1$, maka \[a^2+b^2+c^2+d^2 \ge a^ab^bc^cd^d\] Artinya, \begin{align*} (a+b+c+d)^3 &> (a+2b+3c+4d)\left (a^2+b^2+c^2+d^2\right )\\ &\ge (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d \\ 1 &> (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d \end{align*} seperti yang diinginkan.
$\blacksquare$

Pendapat

Setelah kulihat, tidak sedikit juga peserta IMO yang tidak berhasil menyelesaikan soal ini. Soal ini cukup tricky dengan menggunakan ide yang cukup klasik. Peserta Indonesia yang berhasil menyelesaikan soal ini sebanyak $3$ peserta. Mereka harus menyelesaikan $3$ soal dalam waktu $4.5$ jam, dan salah satunya soal diatas. Ada banyak cara dalam menyelesaikan soal diatas. Banyak jalan menuju roma.

Cukup sekian pembahasan IMO 2020 P2 ๐Ÿ˜€ Bila ada yang ingin ditanyakan, bisa ditanyakan pada kolom komentar dibawah. Tetap pantau terus blog ini dan sampai bertemu lagi di post selanjutnya! ๐Ÿ˜
Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

Posting Komentar