0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Persamaan Nilai Mutlak

Hai sobat nimu! Lanjutan dari materi Konsep Nilai Mutlak, sekarang kita akan membahas mengenai Persamaan Nilai Mutlak. Di SMP, kita telah mempelajari sistem persamaan linier satu variabel dan dua variabel. Contoh persamaan nilai mutlak yaitu

\[|x| + 1 = |-x|\]

Wah gimana lagi tuh? 😲 Yuk kita pelajari lebih lanjut! πŸ˜€

Sumber giphy.com

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Kalau masih tidak berubah, silahkan tulis di komentar ya... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu. Ketika menemukan rumus matematika yang terpotong (terutama pengguna HP), kusarankan kamu untuk mengubah posisi HP mu menjadi landscape oke!


Persamaan Nilai Mutlak

Perhatikan ilustrasi berikut.
Perebutan Odading Mang Ole
Di musim panas, Ucok dan Coku akan berebut "odading mang ole" di suatu warung. Mereka akan berlari sekencang-kencangnya agar mereka mendapatkan yang mereka inginkan. Ucok membutuhkan waktu $25$ detik untuk sampai ke warung. Ternyata, selisih waktu Ucok dan Coku untuk sampai ke warung adalah $4$ detik.  Berapa lama kemungkinan Coku sampai di warung tersebut?
Perhatikan ilustrasi berikut.
Mungkin ada yang beranggapan seperti berikut.
Loh, kalo selisih kan tinggal kurangin aja. Ya kalo kita misalkan waktu Coku yang dibutuhkan untuk sampai ke warung adalah $x$, berarti kan \[25-x=4\Longleftrightarrow x=21\] Berarti waktu Coku untuk sampai ke warung adalah $21$ detik.
Oke, ini yang salah kaprah πŸ˜‰ Tidak sedikit orang salah mengartikan kata "selisih". Kukasih contoh. Kalo selisih $5$ dan $3$ berapa? Yaitu 
\[5-3=2\]
Kalo selisih $3$ dan $5$ berapa? Apakah
\[3-5 = -2\]
Tentu saja bukan 😁 Selisih $3$ dan $5$ yaitu $2$. Loh kok bisa? Selisih dua bilangan dinyatakan sebagai mutlak dari pengurangan dua bilangan tersebut. Jadi, selisih $3$ dan $5$ adalah
\[|3-5| = |-2| = -(-2)=2\]
Atau
\[|5-3| = |2| = 2\]
Lalu, bagaimana untuk permasalah "Perebutan Odading Mang Oleh"? Misalkan waktu Coku yang dibutuhkan ke warung adalah $x$. Waktu yang dibutuhkan Ucok adalah $25$ detik untuk sampai ke warung. Diketahui bahwa selisih waktu Ucok dan Coku untuk sampai ke warung adalah $4$ detik. Artinya,
\[|x-25| = 4\]
Waaaaa.... Lalu bagaimana? Nah mari kita bahas lebih lanjut!

1. Bentuk $|f(x)|= c$ dengan $c\ge 0$

Ingat bahwa nilai mutlak selalu tak negatif! Artinya, persamaan \[|f(x)|=c\] memiliki penyelesaian jika $c\ge 0$. Ada beberapa kemungkinan, yaitu $f(x)\ge 0$ dan $f(x)<0$. Untuk $f(x)=ax+b$, dari definisi mutlak,
\[|ax+b| = \begin{cases}ax+b, \text{ jika }ax+b\ge 0\\ -(ax+b), \text{ jika }ax+b<0 \end{cases}\]
Tentu untuk menyelesaikan suatu persamaan tetap memperhatikan bahwa apakah penyelesaiannya memenuhi syarat atau tidak. Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh soal berikut!

Contoh Soal

Contoh 1.1

Tentukan penyelesaian dari $|2x+3| = 5$.
Pertama, kita tinjau definisi mutlak dari $|2x+3|$. Maka
\[|2x+3| = \begin{cases}2x+3,\text{ jika }2x+3\ge 0\\ -(2x+3),\text{ jika }2x+3<0 \end{cases}\]
Atau hal diatas dapat dituliskan dengan
\[|2x+3| = \begin{cases}2x+3,\text{ jika } x\ge -\frac{3}{2}\\ -2x-3,\text{ jika }x<-\frac{3}{2} \end{cases}\]

Kasus 1 : $\displaystyle x\ge -\frac{3}{2}$

Karena $\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}$, maka \begin{align*} |2x+3| &= 5 \\ 2x+3 &= 5 \\ 2x &= 5-3 \\ 2x &= 2\\x &= 1\end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x\ge -\frac{3}{2}$. Kita cek, apakah ini memenuhi syarat. Perhatikan bahwa  
\[x=1 \ge -\frac{3}{2}\] 
Karena memenuhi syarat, artinya $x=1$ memenuhi persamaan tersebut.

Kasus 2 : $\displaystyle x<-\frac{3}{2}$

Karena $\displaystyle x<-\frac{3}{2}$, maka
\begin{align*}|2x+3| &= 5 \\ -2x-3 &= 5\\ -2x &= 5+3\\-2x &= 8\\ x &= -4 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x<-\frac{3}{2}$. Kita cek, apakah ini memenuhi syarat. Perhatikan bahwa \[x=-4 < -\frac{3}{2}\] 
Karena memenuhi syarat, artinya $x=-4$ memenuhi.
Jadi, penyelesaian dari $|2x+3|=5$ adalah $\boxed{x=1}$ atau $\boxed{x=-4}$.

Contoh 1.2

Tentukan himpunan penyelesaian dari $2|2x+1| -|-5| = 15$.
Kita sederhanakan persamaan tersebut terlebih dahulu.
Tinjau bahwa \[|-5| = -(-5) = 5\]
Maka \begin{align*}2|2x+1| - |-5| &= 15 \\ 2|2x+1| - 5 &= 15 \\ 2|2x+1| &= 15+5\\ 2|2x+1| &= 20\\ |2x+1| &= 10 \end{align*}
Dari definisi mutlak, maka \begin{align*}|2x+1| &= \begin{cases}2x+1, \text{ jika }2x+1\ge 0 \\ -(2x+1),\text{ jika }2x+1<0 \end{cases} \end{align*} Hal diatas dapat kita tuliskan dengan \begin{align*}|2x+1| &= \begin{cases}2x+1,\text{ jika }x\ge -\frac{1}{2}\\-2x-1,\text{ jika } x<-\frac{1}{2} \end{cases} \end{align*} 

Kasus 1 : $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$

Karena $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$, maka \begin{align*}|2x+1| &= 10 \\ 2x+1 &= 10\\ 2x &= 10-1 \\ 2x &= 9 \\ x &= \frac{9}{2} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$. Kita cek, apakah ini memenuhi syarat. Perhatikan bahwa \[x=\frac{9}{2}\ge -\frac{1}{2}\] 
Karena memenuhi syarat, artinya $\displaystyle x=\frac{9}{2}$ memenuhi persamaan.

Kasus 2 : $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$

Karena $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$. maka \begin{align*}|2x+1| &= 10\\ -2x-1 &= 10\\ -2x &= 10+1 \\ -2x &= 11\\ x &= -\frac{11}{2} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$. Kita cek, apakah ini memenuhi syarat. Perhatikan bahwa \[x=-\frac{11}{2} < -\frac{1}{2}\] 
Karena memenuhi syarat, artinya $\displaystyle x=-\frac{11}{2}$ memenuhi persamaan.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $2|2x+1|-|-5|=15$ adalah $\boxed{\left \{-\frac{11}{2},\frac{9}{2} \right \}}$.

Contoh 1.3

Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan \[|x-1|+5=3\]
Kita sederhanakan persamaan tersebut. \begin{align*}|x-1| +5 &= 3 \\ |x-1| &= 3-5\\|x-1| &= -2\end{align*}
Ingat bahwa nilai mutlak selalu tak negatif. Artinya, 
\[|x-1| \ge 0\]
Karena 
\[|x-1| = -2 <0 \Longrightarrow |x-1| <0\]
Artinya, tidak memenuhi syarat nilai mutlak. Sehingga tidak ada penyelesaian untuk persamaan $|x-1| + 5=3$.

Contoh 1.4

Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan \[|x-7|+|-88|=88\]
Kita sederhanakan bentuk persamaan tersebut. Tinjau bahwa \[|-88|=-(-88)=88\] Maka \begin{align*}|x-7| + |-88| &= 88\\ |x-7| + 88 &= 88\\ |x-7| &= 88-88\\ |x-7| &= 0 \end{align*} Dari definisi mutlak, \[|x-7|=\begin{cases}x-7,\text{ jika }x-7\ge 0 \\ -(x-7),\text{ jika }x-7<0\end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x-7|=\begin{cases}x-7,\text{ jika }x\ge 7 \\ 7-x,\text{ jika }x<7 \end{cases}\end{align*}Kasus 1 : $x\ge 7$ 
Karena $x\ge 7$, maka \begin{align*}|x-7| &= 0\\ x-7 &= 0 \\ x &=7 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge 7$. Kita cek, apakah penyelesaian ini memenuhi syarat. Perhatikan bahwa \[x=7\ge 7\] Artinya, $x=7$ merupakan penyelesaian.
Kasus 2 : $x<7$  Karena $x<7$, maka \begin{align*}|x-7| &=0 \\ 7-x &=0\\ x&=7 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<7$. Perhatikan bahwa \[x=7<7\] tidak memenuhi syarat. Maka pada kasus ini tidak ada solusi.
Demikian penyelesaian persamaan ini hanya ada pada kasus 1. Jadi, semua bilangan real $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{x=7}$.
Untuk menyelesaikan persamaan $|f(x)|=c$, bagi menjadi dua kemungkinan yaitu $f(x)\ge 0$ dan $f(x)<0$. Dari masing-masing penyelesaian yang didapatkan, perlu dicek kembali karena syarat harus terpenuhi.

2. Bentuk $|f(x)|=g(x)$ dengan $g(x)\ge 0$

Disini, kita tidak bisa menyelesaikan persamaan tersebut dengan $|f(x)|=c$ karena bentuk $g(x)$ belum diketahui. Ada beberapa kemungkinan, yaitu $f(x)\ge 0$ dan $f(x)<0$. Misalkan $f(x)=ax+b$ dan $g(x)=cx+d$, maka 
\[|ax+b| = cx+d\]
Bagaimana untuk menyelesaikannya? Perhatikan beberapa contoh soal berikut!

Contoh Soal

Contoh 2.1

Tentukan penyelesaian dari $|2x+1|= x+4$.
Disini, $f(x)=2x+1$ dan $g(x)=x+4$. Syaratnya, $g(x)\ge 0$. Maka \[g(x)=x+4\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge -4\] Dari definisi mutlak, \[2x+1=\begin{cases}2x+1,\text{ jika }2x+1\ge 0\\ -(2x+1),\text{ jika }2x+1<0 \end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan \[2x+1=\begin{cases}2x+1,\text{ jika }x\ge -\frac{1}{2} \\ -2x-1,\text{ jika }x<-\frac{1}{2}\end{cases}\] 

Kasus 1 : $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$

Karena $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$, maka 
\[|2x+1| = 2x+1\]
Subtitusikan ke persamaan pada soal.
\begin{align*}|2x+1| &= x+4\\ 2x+1 &= x+4 \\ 2x-x &= 4-1 \\ x &= 3 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x\ge -\frac{1}{2}$. Perhatikan bahwa \[x=3\ge -\frac{1}{2}\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=3$ memenuhi persamaan.

Kasus 2 : $\displaystyle -4\le x<-\frac{1}{2}$

Karena $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$, maka
\[|2x+1| = -2x-1\]
Subtitusikan ke persamaan pada soal.
\begin{align*}|2x+1| &= x+4 \\ -2x-1 &= x+4 \\ -1-4 &= x+2x \\ -5 &= 3x \\ -\frac{5}{3} &= x \end{align*}
Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle -4\le x<-\frac{1}{2}$. Kita cek, perhatikan bahwa
\[-4\le x =-\frac{5}{3} <-\frac{3}{2}\] 
yang berarti memenuhi syarat.
Jadi, $\displaystyle x=-\frac{5}{3}$ memenuhi persamaan.
Jadi, penyelesaian dari $|2x+1|=x+4$ adalah $\displaystyle \boxed{x=3}$ atau $\displaystyle x=\boxed{-\frac{5}{3}}$.

Contoh 2.2

Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan penyelesaian dari $\displaystyle |x-3| = \frac{x+1}{3}$. Tentukan 
(a). $x_1$ dan $x_2$ 
(b). $x_1x_2$
Disini, $f(x)=x-3$ dan $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{3}$. Ingat bahwa syarat $g(x)\ge 0$. Maka \begin{align*}g(x) =\frac{x+1}{3} &\ge 0 \\ \frac{x+1}{3} &\ge 0 \\ x+1 &\ge 0 \cdot 3\\x+1 &\ge 0 \\ x&\ge 0-1 \\ x &\ge -1 \end{align*} Dari definisi mutlak,
\[|x-3| = \begin{cases}x-3,\text{ jika }x-3\ge 0\\-(x-3),\text{ jika }x-3<0 \end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \[|x-3| =\begin{cases}x-3,\text{ jika }x\ge 3\\ -x+3,\text{ jika }x<3 \end{cases}\] 

Kasus 1 : $x\ge 3$

Karena $x\ge 3$, maka \[|x-3| = x-3\] Subtitusikan ke persamaan pada soal.
\begin{align*}|x-3| &= \frac{x+1}{3}\\ x-3 &= \frac{x+1}{3} \\ 3(x-3) &= x+1\\3x-9 &= x+1\\ 3x-x &= 1+9\\ 2x &= 10\\ x &= 5 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge 3$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=5\ge 3\]
 
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=5$ merupakan penyelesaiannya.

Kasus 2 : $-1\le x<3$

Karena $x<3$, maka \[|x-3| = -x+3\] Subtitusikan ke persamaan pada soal. 
\begin{align*}|x-3| &= \frac{x+1}{3} \\ -x+3 &= \frac{x+1}{3} \\ 3(-x+3) &= x+1\\ -3x+9 &= x+1\\ 9-1 &= x+3x\\ 8 &= 4x \\ 2 &= x \end{align*}
Ingat bahwa syaratnya adalah $-1\le x <3$. Kita cek, perhatikan bahwa \[-1\le x=2<3\] 
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=2$ merupakan penyelesaiannya.
Kita dapatkan bahwa $x=5$ dan $x=3$ merupakan solusi. Dengan kata lain, $x_1=5$ dan $x_2=3$ (atau sebaliknya, yaitu $x_1=3$ dan $x_2=5$). Demikian \[x_1x_2 = 5 \cdot 3 = 15\] Jadi, nilai dari $x_1x_2$ adalah $\boxed{15}$.

Contoh 2.3

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{|x-2|}{x+3}=|-4|$ dimana $x\neq -3$.

Perhatikan bahwa persamaan pada soal tersebut dapat dirubah menjadi

\begin{align*}\frac{|x-2|}{x+3} &= |-4| \\  &= -(-4)\\ &= 4\\ |x-2| &= 4(x+3)\\ |x-2| &= 4x+12 \end{align*} Disini, $f(x)=x-2$ dan $g(x)=4x+12$. Ingat bahwa syaratnya $g(x)\ge 0$. Maka \begin{align*}4x+12 &\ge 0 \\ 4x &\ge 0-12 \\ 4x &\ge -12 \\ x &\ge -3 \end{align*} Dari definisi mutlak, maka \[|x-2|=\begin{cases}x-2,\text{ jika }x-2\ge 0 \\ -(x-2),\text{ jika } x-2<0 \end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \[|x-2|=\begin{cases}x-2,\text{ jika }x\ge 2\\-x+2,\text{ jika }x<2 \end{cases}\]

Kasus 1 : $x\ge 2$

Karena $x\ge 2$, maka \[|x-2|  =x-2\] Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*}|x-2| &= 4x+12 \\ x-2 &= 4x+12 \\ 2-12 &= 4x-x \\ -10 &= 3x \\  -\frac{10}{3} &= x \end{align*} Ingat bahwa syarat $x\ge 2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-\frac{10}{3} \ge 2\] 
yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=-\frac{10}{3}$ tidak memenuhi.

Kasus 2 : $-3\le x<2$

Karena $x<2$, maka \[|x-2| = 2-x\] Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*}|x-2| &= 4x+12\\ 2-x &= 4x+12 \\ 2-12 &= 4x+x \\ -10 &= 5x \\ -2 &= x \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $-3\le x<2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[-3\le x=-2 <2\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=-2$ memenuhi persamaan.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{-2\}}$.

Contoh 2.4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \[\frac{|x-12|}{5} = x\]
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat diubah menjadi \begin{align*}\frac{|x-12|}{5} &= x \\ |x-12| &=5x \end{align*} Disini $f(x)=x-12$ dan $g(x)=5x$. Ingat bahwa syarat $g(x)\ge 0$, yang berarti \begin{align*}5x & \ge 0 \\ x& \ge 0\end{align*} Dari definisi mutlak, \begin{align*}|x-12| &= \begin{cases}x-12,\text{ jika }x-12\ge 0\\ -(x-12),\text{ jika }x-12<0 \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x-12| &= \begin{cases}x-12,\text{ jika }x\ge 12\\ -x+12,\text{ jika }x<12 \end{cases} \end{align*} 

Kasus 1 : $x\ge 12$

Karena $x\ge 12$, maka \[|x-12| = x-12\] Subtitusikan ke persamaan. Maka \begin{align*} |x-12| &= 5x \\ x-12 &= 5x\\ -12 &= 5x-x \\ -12 &= 4x \\ -3 &= x\end{align*} Ingat bahwa syaratnya $x\ge 12$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x = -3 \ge 12\] yang berarti tidak memenuhi syarat. Sehingga dalam hal ini tidak ada penyelesaian.

Kasus 2 : $0\le x< 12$

Karena $x<12$, maka \[|x-12| = -x+12\] Subtitusikan ke persamaan. Maka \begin{align*} |x-12| &= 5x \\ 12-x &= 5x\\ 12 &= 5x+x \\ 12 &= 6x \\ 2 &= x\end{align*} Ingat bahwa syaratnya $0\le x< 12$. Kita cek, perhatikan bahwa \[0\le x = 2 < 12\] yang berarti memenuhi syarat. Artinya $x=2$ merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{2\}$.
Syarat pertama yang perlu diperhatikan adalah $g(x)\ge 0$. Jika $g(x)<0$, dipastikan persamaan $|f(x)|=g(x)$ tidak memiliki penyelesaian. Setelah itu, tinjau beberapa kemungkinan dari $|f(x)|$ yaitu $f(x)\ge 0$ dan $f(x)<0$. Penyelesaian yang didapatkan perlu dicek kembali apakah memenuhi syarat atau tidak.

3. Bentuk $|f(x)|= |g(x)|$

Bentuk ini lebih rumit lagi. Karena kita perlu meninjau beberapa kemungkinan, yaitu
  1. $f(x)\ge 0$ dan $g(x)\ge 0$
  2. $f(x)\ge 0$ dan $g(x)<0$
  3. $f(x)<0$ dan $g(x)\ge 0$
  4. $f(x)<0$ dan $g(x)<0$
Kita perlu meninjau semua bentuk-bentuk diatas. Lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut!

Contoh Soal

Contoh 3.1

Tentukan penyelesaian dari $|x-1| = |2x+2|$.
Disini, $f(x)=x-1$ dan $g(x)=2x+2$. Dari definisi mutlak, \begin{align*}|x-1| &= \begin{cases} x-1,\text{ jika }x-1\ge 0 \\ -(x-1),\text{ jika }x-1<0\end{cases} \\ |2x+2| &=\begin{cases}2x+2,\text{ jika }2x+2\ge 0\\ -(2x+2),\text{ jika }2x+2<0 \end{cases}\end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x-1| &= \begin{cases}x-1,\text{ jika }x\ge 1\\ -x+1,\text{ jika }x<1\end{cases}\\ |2x+2| &= \begin{cases}2x+2,\text{ jika }x\ge -1\\ -2x-2,\text{ jika }x<-1\end{cases} \end{align*} 

Kasus 1 : $x\ge 1$

Karena $x\ge 1$, maka \[|x-1| = x-1\] Di sisi lain, \begin{align*}x &\ge 1\\2x &\ge 2\cdot 1\\ 2x &\ge 2 \\ 2x+2 &\ge 2+2\\ 2x+2&\ge 4 \end{align*} Artinya, $2x+2\ge 0$. Maka \[|2x+2| = 2x+2\] Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*} |x-1| &= |2x+2| \\ x-1 &= 2x+2 \\ -1-2 &= 2x-x \\ -3 &= x\end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge 1$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-3\ge 1\]
yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Kasus 2 : $-1\le x <1$

Karena $x<1$, maka \[|x-1| = -x+1\] Karena $1\ge -x$, maka \[|2x+2|=2x+2\] Subtitusikan ke persamaan soal. Maka \begin{align*}|x-1| &= |2x+2| \\ -x+1 &= 2x+2\\ 1-2 &= 2x+x \\ -1 &= 3x \\ -\frac{1}{3} &= x \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $-1\le x<1$. Kita cek, perhatikan bahwa \[-1\le x = -\frac{1}{3} <1\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=-\frac{1}{3}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 3 : $x<-1$

Karena $x<-1$, maka \begin{align*} x &<-1 \\ x-1 &<-1 -1 \\ x-1 &<-2\end{align*} Artinya, $x-1<0$. Dari definisi mutlak, \[|x-1|=-(x-1)=-x+1\] Karena $x<-1$, maka \[|2x+2|=-2x-2\] Subtitusikan ke persamaan soal. Maka \begin{align*}|x-1| &= |2x+2| \\ -x+1 &= -2x-2 \\ -x+2x &= -2-1\\ x &= -3\end{align*} Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-3 <-1\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-3$ merupakan penyelesaian.

Dari semua kemungkinan diatas, jadi penyelesaian dari $|x-1|=|2x+2|$ adalah $\displaystyle \boxed{x=-\frac{1}{3}}$ atau $\boxed{x=-3}$.

Contoh 3.2

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{|x|}{2}=\frac{|3x-1|}{4} $
Kita sederhanakan dulu bentuk persamaan tersebut.
\begin{align*}\frac{|x|}{2} &= \frac{|3x-1|}{4} \\|x| &= \frac{|3x-1|}{4} \cdot 2\\ |x| &= 2|3x-1|  \end{align*} Kita abaikan bilangan $2$. Disini kita misalkan $f(x)=x$ dan $g(x)=3x-1$. Yang terpenting kita meninjau bentuk dari $f(x)$ dan $g(x)$. Dari definisi mutlak, \begin{align*} |x| &= \begin{cases}x,\text{ jika }x\ge 0\\-x,\text{ jika }x<0 \end{cases}\\ |3x-1| &= \begin{cases}3x-1,\text{ jika }3x-1\ge 0 \\ -(3x-1),\text{ jika }3x-1<0 \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x| &= \begin{cases}x,\text{ jika }x\ge 0 \\ -x,\text{ jika }x<0 \end{cases} \\ |3x-1| &= \begin{cases}3x-1,\text{ jika} x\ge \frac{1}{3} \\ -3x+1,\text{ jika }x<\frac{1}{3}\end{cases}\end{align*} 

Kasus 1 : $\displaystyle x\ge\frac{1}{3}$ 

Karena $\displaystyle x\ge\frac{1}{3}$, maka $x\ge 0$. Artinya, \[|x| = x\] Karena $\displaystyle x\ge \frac{1}{3}$, maka \[|3x-1| = 3x-1\] Subtitusikan ke persamaan. \begin{align*}|x| &= 2|3x-1| \\ x &= 2(3x-1) \\ x &= 6x-2 \\ 2 &= 6x-x \\ 2 &= 5x \\ \frac{2}{5} &= x\end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x\ge \frac{1}{3}$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=\frac{2}{5}\ge \frac{1}{3}\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=\frac{2}{5}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2 : $\displaystyle 0\le x<\frac{1}{3}$

Karena $x\ge 0$, maka \[|x|=x\] Karena $\displaystyle x<\frac{1}{3}$, maka \[|3x-1|=-3x+1\] Subtitusikan ke persamaan. Maka \begin{align*}|x| &= 2|3x-1| \\ x &= 2(-3x+1)\\ x &= -6x+2\\ x+6x &= 2 \\ 7x &= 2 \\ x &= \frac{2}{7}\end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle 0\le x<\frac{1}{3}$. Kita cek, perhatikan bahwa \[0\le x=\frac{2}{7} <\frac{1}{3}\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=\frac{2}{7}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 3 : $\displaystyle x<0$

Karena $x<0$, maka \[|x|=-x\] Karena $x<0$, maka \begin{align*} x&<0\\3x &<3\cdot 0\\3x &<0 \\ 3x-1 &<0-1 \\ 3x-1&<-1\end{align*} Artinya, $3x-1<0$. Dari definisi mutlak, maka \[|3x-1|=-(3x-1)=-3x+1\]  Subtitusikan ke persamaan. Maka \begin{align*}|x| &= 2|3x-1|\\ -x &= 2(-3x+1) \\ -x &= -6x+2 \\ -x+6x &= 2\\ 5x &= 2 \\ x &= \frac{2}{5} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<0$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=\frac{2}{5}<0\]
yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Dari tiga hal diatas, jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\displaystyle \boxed{\left \{\frac{2}{7},\frac{2}{5} \right \}}$.

Contoh 3.3

Tentukan himpunan penyelesaian dari $\displaystyle |2x-2|=-4|x-1|$.
Disini, $f(x)=2x-2$ dan $g(x)=x-1$. Kita tahu bahwa $|f(x)|\ge 0$ dan $|g(x)|\ge 0$. Tinjau bahwa \[-4|x-1| = -4|g(x)|\] Karena $|g(x)|\ge 0$, maka \begin{align*}|g(x)| &\ge 0 \\ -4|g(x)| &\le (-4) \cdot 0\\ -4|g(x)| &\le 0 \end{align*} Maka \[|f(x)| = -4|g(x)| \le 0 \Longrightarrow |f(x)| \le 0\] Karena haruslah $|f(x)|\ge 0$, maka haruslah $|f(x)|=0$. Demikian juga \begin{align*}|f(x)| &= -4|g(x)| \\ 0 &= -4|g(x)| \\ 0 &= |g(x)| \end{align*} 
Jika $|f(x)|=0$, maka $f(x)=0$.
Karena $|f(x)|=0$, maka $f(x)=0$. \begin{align*}f(x) &= 0 \\ 2x-2 &= 0 \\ 2x &= 0+2\\2x &= 2\\x &= 1 \end{align*} Karena $|g(x)|=0$, maka $g(x)=0$. \begin{align*}g(x) &= 0 \\ x-1 &= 0 \\ x &= 0+1 \\ x &= 1 \end{align*} 
Cek $x=1$ ke persamaan,
\begin{align*} |2x-2| &= -4|x-1| \\ |2\cdot 1-2| &=-4|1-1| \\ |2-2| &= -4|0| \\ |0| &= (-4) \cdot 0 \\ 0 &= 0\end{align*} yang berarti memenuhi.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{1\}}$.
Persamaan \[|f(x)| = -|g(x)|\] memiliki penyelesaian jika $f(x)=0$ dan $g(x)=0$. Kemudian, selesaikan persamaan $f(x)=0$ dan $g(x)=0$. Penyelesaian-penyelesaian yang diperoleh dicek kembali ke persamaan $|f(x)|=-|g(x)|$, untuk memastikan memenuhi atau tidak.

Contoh 3.4

Tentukan himpunan penyelesaian dari $|x-1| - |2-x| =0$.
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat kita ubah menjadi \[|x-1| = |2-x|\] Disini, $f(x)=x-1$ dan $g(x)=2-x$. Dari definisi mutlak, \begin{align*}|x-1| &= \begin{cases}x-1,\text{ jika }x-1\ge 0 \\ -(x-1),\text{ jika }x-1<0 \end{cases}\\ |2-x| &= \begin{cases} 2-x,\text{ jika} 2-x\ge 0 \\ -(2-x),\text{ jika }2-x<0\end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x-1| &= \begin{cases}x-1,\text{ jika }x\ge 1\\-x+1,\text{ jika }x<1 \end{cases}\\ |2-x| &= \begin{cases}2-x,\text{ jika }2\ge x \\ -2+x,\text{ jika } x>2\end{cases} \end{align*}

Kasus 1 : $x>2$

Karena $x>2$, maka \begin{align*}x &>2 \\ x-1 &>2-1 \\ x-1 &>1 \end{align*} Dengan kata lain, $x-1\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka \[|x-1| = x-1\] Karena $x>2$, maka $|2-x|=-2+x$. Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*}|x-1| &= |2-x| \\ x-1 &= -2+x \\ x-x &= -2+1 \\ 0 &= -1\end{align*} Tidak mungkin. Sehingga tidak ada penyelesaian.

Kasus 2 : $1\le x\le 2$

Karena $1\le x$, maka \[|x-1|=x-1\] Karena $x\le 2$, maka \[|2-x|=2-x\] Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*}|x-1| &= |2-x| \\ x-1 &= 2-x \\ x+x &= 2+1 \\ 2x &=3 \\ x &= \frac{3}{2}  \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $1\le x\le 2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[1\le x=\frac{3}{2} \le 2\]

memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=\frac{3}{2}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 3 : $x<1$

Karena $x<1$, maka \[|x-1|=-x+1\] Karena $x<1$, maka \begin{align*}x &<1 \\ (-1) \cdot x &>(-1) \cdot 1 \\ -x &>-1 \\ 2-x &>2-1 \\ 2-x &>1 \end{align*} Artinya, $2-x\ge 0$. Maka \[|2-x| = 2-x\] Subtitusikan ke persamaan soal. \begin{align*}|x-1| &= |2-x| \\ -x+1 &= 2-x \\ -x+x &= 2-1 \\ 0 &=1 \end{align*} Tidak mungkin. Sehingga tidak ada penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\displaystyle \left \{\frac{3}{2} \right \}$.
Tinjau beberapa bentuk kemungkinan, yaitu $f(x)\ge 0$ dan $g(x)\ge 0$, $f(x)\ge 0$ dan $g(x)<0$, $f(x)<0$ dan $g(x)\ge 0$, serta $f(x)<0$ dan $g(x)<0$. Penyelesaian yang didapatkan perlu dicek kembali, memenuhi syarat atau tidak.

4. Bentuk $a|f(x)|^2 + b|f(x)|+c=0$

Bentuk \[a|f(x)|^2 + b|f(x)| +c=0\] merupakan bentuk persamaan kuadrat. Jika kita misalkan $|f(x)|=n$, maka \[an^2+bn+c=0\] Mencari penyelesaian bentuk tersebut dapat menggunakan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC. Perhatikan beberapa contoh soal berikut. Ingat bahwa $|f(x)|\ge 0$, artinya $n\ge 0$.

Contoh Soal

Contoh 4.1

Tentukan semua penyelesaian dari \[|x|^2 -2|x| +1=0\]
Misalkan $|x|=n$ dimana $n\ge 0$. Maka \begin{align*}|x|^2 - 2|x|+1 &= 0\\ n^2-2n+1 &= 0 \\ (n-1)^2 &= 0\\ n-1 &=\pm \sqrt{0}\\ n-1 &= \pm0 \\ n&=0+1\\ n&=1\end{align*} Karena $n=|x|$, maka \[|x|=1\] Dari definisi mutlak, \[|x| = \begin{cases}x,\text{ jika }x\ge 0\\ -x,\text{ jika }x<0 \end{cases}\] 

Kasus 1 : $x\ge 0$

Karena $x\ge 0$, maka $|x|=x$. Maka \begin{align*}|x| &= 1\\x &= 1 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge 0$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=1 \ge 0\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=1$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2 : $x<0$

Karena $x<0$, maka $|x|=-x$. Maka \begin{align*}|x| &= 1 \\ -x &= 1 \\ x &= -1 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<0$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-1<0\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-1$ merupakan penyelesaian.

Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{x=1}$ atau $\boxed{x=-1}$.

Contoh 4.2

Tentukan himpunan penyelesaian dari $2|3-x|^2-5|3-x|-3=0$.
Misalkan $|3-x|=n$. Maka \begin{align*}2|3-x|^2 -5|3-x| -3 &= 0\\ 2n^2 -5n-3 &= 0 \\ (n-3)(2n+1) &= 0 \end{align*} Maka \[n-3=0 \quad \text{atau}\quad 2n+1=0\] Atau hal diatas setara dengan \[n=3\quad \text{atau}\quad n=-\frac{1}{2}\] Karena $n\ge 0$, maka nilai $n$ yang memenuhi syarat adalah $n=3$. Sedangkan, $\displaystyle n=-\frac{1}{2}$ tidak memenuhi karena $n<0$.
Mengingat bahwa $|3-x|=n$, maka $|3-x|=3$. Dari definisi mutlak, maka \[|3-x| = \begin{cases}3-x,\text{ jika }3-x\ge 0 \\ -(3-x),\text{ jika }3-x<0 \end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|3-x| &= \begin{cases}3-x,\text{ jika }3\ge x\\ -3+x,\text{ jika }3<x \end{cases} \end{align*}

Kasus 1 : $x>3$

Karena $x>3$, maka \[|3-x| = -3+x\] Subtitusikan ke persamaan. \begin{align*}|3-x| &= 3\\ -3+x &= 3 \\ x &= 3+3\\ x&= 6 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x>3$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=6>3\] 
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=6$ merupakan penyelesaian. 

Kasus 2 : $x\le 3$

Karena $x\le 3$, maka \[|3-x| = 3-x\] Subtitusikan ke persamaan. \begin{align*}|3-x| &= 3\\ 3-x &= 3 \\ -x &= 3-3\\ -x &= 0 \\ x &= 0 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\le 3$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=0\le 3\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=0$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adlaah $\boxed{\{0,6\}}$.

Contoh 4.3

Tentukan himpunan penyelesaian bilangan real dari \[\left |x^2-3x+3\right |^2 +\left |x^2-3x+3\right | = 2\]
Perhatikan bahwa persamaan tersebut sama saja dengan \[\left |x^2-3x+3\right |^2+\left |x^2-3x+3\right |-2=0\] Misalkan $\left |x^2-3x+3\right |=n$ dimana $n\ge 0$. Maka \begin{align*}\left |x^2-3x+3\right |^2 + \left |x^2-3x+3 \right | -2 &= 0 \\ n^2 + n-2 &= 0 \\ (n+2)(n-1) &= 0 \end{align*} sehingga \[n+2=0\quad \text{atau}\quad n-1=0\] Hal diatas setara dengan \[n=-2\quad \text{atau}\quad n=1\] Karena $n\ge 0$, maka nilai $n$ yang memenuhi syarat adalah $n=1$. Sedangkan, $n=-2$ tidak memenuhi syarat karena $n<0$.
Mengingat bahwa $n=\left |x^2-3x+3 \right |$, maka \[1=\left |x^2-3x+3 \right |\] Dari definisi mutlak, \begin{align*}\left |x^2-3x+3\right | &= \begin{cases}x^2-3x+3,\text{ jika }x^2-3x+3\ge 0\\-\left (x^2-3x+3\right ),\text{ jika }x^2-3x+3<0  \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat kita tuliskan dengan \[\left |x^2-3x+3 \right | = \begin{cases} x^2-3x+3,\text{ jika }x^2-3x+3\ge 0 \\ -x^2+3x-3,\text{ jika }x^2-3x+3<0\end{cases}\] 

Kasus 1 : $x^2-3x+3\ge 0$

Karena $x^2-3x+3\ge 0$, maka \[\left |x^2-3x+3\right | = x^2-3x+3\] Subtitusikan, maka \begin{align*}\left |x^2-3x+3 \right | &= 1 \\ x^2-3x+3 &= 1 \\ x^2-3x+3-1 &= 0 \\ x^2-3x+2 &= 0 \\ (x-1)(x-2) &= 0 \end{align*} sehingga \[x-1=0 \quad \text{atau}\quad x-2=0\] Hal diatas setara dengan \[x=1\quad \text{atau}\quad x=2\] Ingat bahwa syaratnya adalah $x^2-3x+3\ge 0$. 
  • Untuk $x=1$. Maka \begin{align*}x^2 - 3x+3 &= 1^2 - 3 \cdot 1 +3 \\ &= 1-3+3 \\ x^2-3x+3&= 1\end{align*} Perhatikan bahwa \[x^2-3x+3=1\ge 0\] yang berarti memenuhi syarat. Maka $x=1$ merupakan penyelesaian.
  • Untuk $x=2$. Maka \begin{align*}x^2-3x+3 &= 2^2 - 3 \cdot 2 +3 \\ &= 4-6+3 \\ x^2-3x+3 &= 1 \end{align*} Perhatikan bahwa \[x^2-3x+3=1\ge 0\] yang berarti memenuhi. Jadi, $x=2$ merupakan penyelesaian.
Jadi, $x=1$ dan $x=2$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2 : $x^2-3x+3<0$

Karena $x^2-3x+3<0$, maka \[\left |x^2-3x+3 \right | = -x^2+3x-3\] Subtitusikan, maka \begin{align*}\left |x^2-3x+3 \right | &=1\\ -x^2+3x-3 &= 1\\ 0 &= 1+x^2-3x+3 \\ 0 &= x^2-3x+4 \end{align*} Dengan rumus $ABC$, \begin{align*}x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\ &= \frac{3\pm \sqrt{9-16}}{2}\\ &= \frac{3\pm \sqrt{-7}}{2} \end{align*} Karena bilangan di dalam akar kuadrat bilanga negatif, maka tidak ada penyelesaian real untuk kasus ini. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{1,2\}}$.

Contoh 4.4

Tentukan penyelesaian dari \[|x+10|^2 - 5|x+10| +6=0\] 
Misalkan $|x+10|=n$. Maka \begin{align*}|x+10|^2 - 5|x+10| +6 &=0 \\ n^2 -5n + 6 &=0 \\ (n-2)(n-3) &=0 \end{align*} sehingga \[n-2=0 \quad \text{atau}\quad n-3=0\] Hal diatas setara dengan \[n=2\quad \text{dan}\quad n=3\] Kita bagi dua kemungkinan.

Kemungkinan 1 : $n=2$

Mengingat bahwa $n=|x+10|$. Maka $2=|x+10|$. Dari definisi mutlak,
\[|x+10| = \begin{cases}x+10,\text{ jika }x+10\ge 0\\ -(x+10),\text{ jika }x+10<0 \end{cases}\] Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \[|x+10| = \begin{cases}x+10,\text{ jika }x\ge -10\\-x-10,\text{ jika }x<-10 \end{cases}\]  

Kasus 1.1 : $x\ge -10$

Karena $x\ge -10$, maka \[|x+10|=x+10\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+10| &= 2\\ x+10 &= 2 \\ x &= 2-10 \\ x &= -8 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge -10$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-8\ge -10\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-8$ merupakan penyelesaian.

Kasus 1.2 : $x<-10$

Karena $x<-10$, maka \[|x+10|=-x-10\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+10| &= 2 \\ -x-10 &= 2\\ -x &= 2+10\\ -x &= 12 \\ x &=-12 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<-10$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-12<-10\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-12$ merupakan penyelesaian.

Kemungkinan 2 : $n=3$

Mengingat bahwa $n=|x+10|$. Maka $3=|x+10|$. Dari definisi mutlak, dengan cara yang sama, \begin{align*}|x+10|=\begin{cases}x+10,\text{ jika }x\ge -10 \\ -x-10,\text{ jika }x<-10 \end{cases} \end{align*}

Kasus 2.1 : $x\ge -10$

Karena $x\ge -10$, maka \[|x+10|=x+10\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+10| &= 3 \\ x+10 &= 3 \\ x &= 3-10 \\ x &= -7\end{align*} Ingat bahwa syaratnya $x\ge -10$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-7\ge -10\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-7$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2.2 : $x<-10$

Karena $x<-10$, maka \[|x+10| = -x-10\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+10| &= 3\\-x-10 &= 3\\ -x &= 3+10 \\ -x &= 13\\x &=-13 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya dalah $x<-13$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-13<-10\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=-13$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{-13,-12,-8,-7\}}$.
Untuk menyelesaikan \[a|f(x)|^2 + b|f(x)| + c=0\] dapat dengan memisalkan $|f(x)|=n$ dimana $n\ge 0$. Sehingga diperoleh \[an^2+bn+c=0\] yang merupakan persamaan kuadrat. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat, atau menggunakan rumus ABC. Nilai $n$ yang didapatkan harus memenuhi syarat, yaitu $n\ge 0$. Kemudian, mensubtitusikannya kembali ke $|f(x)|=n$. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan bentuk $|f(x)|=c$ seperti pada penjelasan sebelumnya.

5. Bentuk $|f(x)|=|g(x)|+c$

Pada bentuk ini, kita juga meninjau beberapa kemungkinan. Yaitu
  1. $f(x)\ge 0$ dan $g(x)\ge 0$
  2. $f(x)\ge 0$ dan $g(x)<0$
  3. $f(x)<0$ dan $g(x)\ge 0$
  4. $f(x)<0$ dan $g(x)<0$
Perhatikan beberapa contoh soal berikut!

Contoh Soal

Contoh 5.1

Tentukan semua penyelesaian dari \[|x+1| = |x-5| +3\]
Dari definisi mutlak, \begin{align*}|x+1| &= \begin{cases}x+1,\text{ jika }x+1\ge 0 \\ -(x+1),\text{ jika }x+1<0 \end{cases}\\ |x-5| &= \begin{cases}x-5,\text{ jika }x-5\ge 0\\-(x-5).\text{ jika }x-5<0  \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x+1| &= \begin{cases}x+1,\text{ jika }x\ge -1\\ -x-1,\text{ jika }x<-1 \end{cases}\\ |x-5| &= \begin{cases}x-5,\text{ jika } x\ge 5\\ -x+5,\text{ jika }x<5 \end{cases} \end{align*} 

Kasus 1 : $x\ge 5$

Karena $x\ge 5$, maka \[|x-5| = x-5\] Karena $x\ge 5$, maka \begin{align*}x &\ge 5 \\ x+1 &\ge 5+1\\ x+1 &\ge 6 \end{align*} Dengan kata lain, $x+1\ge 0$. Dari definisi mutlak, \[|x+1| = x+1\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+1| &= |x-5| +3\\ x+1 &= x-5+3 \\ x+1 &= x-2\\x-x &= -2-1 \\ 0 &= -3 \end{align*} yang jelas tidak mungkin. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Kasus 2 : $-1\le x <5$

Karena $x<5$, maka \[|x-5| = -x+5\] Karena $-1\le x$, maka \[|x+1| = x+1\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+1| &= |x-5| + 3\\ x+1 &= -x+5+3 \\ x+1 &= -x+8 \\ x+x &= 8-1 \\ 2x &= 7\\ x &= \frac{7}{2} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $-1\le x<5$. Kita cek, perhatikan bahwa
\[-1\le x=\frac{7}{2} <5\]
yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=\frac{7}{2}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 3 : $x<-1$

Karena $x<-1$, maka \begin{align*}x &<-1 \\ x-5 &<-1-5 \\ x-5 &<-6 \end{align*} Artinya, $x-5<0$. Dari definisi mutlak, maka \[|x-5|= -(x-5)=-x+5\] Karena $x<-1$, maka \[|x+1| = -x-1\] Subtitusikan. \begin{align*}|x+1| &= |x-5|+3 \\ -x-1 &= -x+5+3\\-x-1 &= -x+8 \\ -x+x &= 8+1 \\ 0 &= 9 \end{align*} yang jelas tidak mungkin. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\displaystyle \boxed{\left \{\frac{7}{2}\right \}}$.

Contoh 5.2

Tentukan himpunan penyelesaian \[|x+5| + |2-x| = 2\]
Dari definisi mutlak, maka \begin{align*}|x+5| &= \begin{cases}x+5,\text{ jika }x+5\ge 0\\-(x+5),\text{ jika }x+5<0 \end{cases}\\ |2-x| &= \begin{cases}2-x,\text{ jika }2-x\ge 0\\ -(2-x),\text{ jika }2-x<0 \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x+5| &= \begin{cases}x+5,\text{ jika }x\ge -5\\ -x-5,\text{ jika }x<-5\end{cases}\\ |2-x| &= \begin{cases}2-x,\text{ jika }2\ge x \\ -2+x,\text{ jika }2<x\end{cases} \end{align*}

Kasus 1 : $x>2$

Karena $x>2$, maka \begin{align*}x &>2\\x+5 &>2+5\\x+5 &>7 \end{align*} Artinya, $x+5\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka \[|x+5|=x+5\] Karena $x>2$, maka \[|2-x|=-2+x\] Subtitusikan. \begin{align*}|x+5| +|2-x| &= 2\\ x+5+(-2+x) &= 2\\ x+5-2+x &= 2\\2x+3 &= 2\\ 2x &=2-3 \\ 2x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x>2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-\frac{1}{2}>2\]
yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Kasus 2 : $-5\le x\le 2$

Karena $-5\le x$, maka \[|x+5|=x+5\] Karena $x\le 2$, maka \[|2-x|=2-x\] Subtitusikan. \begin{align*}|x+5| +|2-x| &= 2 \\ x+5+2-x &= 2\\ 7 &= 2 \end{align*} yang jelas tidak mungkin. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Kasus 3 : $x<-5$

Karena $x<-5$, maka \[|x+5|=-x-5\] Karena $x<-5$, maka \begin{align*}x &<-5\\(-1) \cdot x &> (-1) \cdot (-5) \\ -x &>5\\ 2-x &>2+5\\2-x &>7 \end{align*} Artinya, $2-x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka \[|2-x|=2-x\] Subtitusikan. \begin{align*}|x+5| + |2-x| &= 2\\ -x-5+2-x &= 2\\ -2x-3 &= 2\\ -2x &= 2+3\\ -2x &= 5 \\ x &= -\frac{5}{2} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<-5$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-\frac{5}{2}<-5\]
tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{\}}$.

Contoh 5.3

Tentukan semua penyelesaian dari \[|x+1| - 2|x-2| = 1\]
Dari definisi mutlak, maka \begin{align*}|x+1| &= \begin{cases}x+1,\text{ jika }x+1\ge 0\\-(x+1),\text{ jika }x+1<0 \end{cases}\\ |x-2| &= \begin{cases}x-2,\text{ jika }x-2\ge 0 \\ -(x-2),\text{ jika }x-2<0 \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|x+1| &= \begin{cases}x+1,\text{ jika }x\ge -1 \\ -x-1,\text{ jika }x<-1 \end{cases}\\ |x-2| &= \begin{cases}x-2,\text{ jika }x\ge 2\\ -x+2,\text{ jika }x<2 \end{cases}\end{align*}

Kasus 1 : $x\ge 2$

Karena $x\ge 2$, \begin{align*}x &\ge 2\\x+1 &\ge 2+1\\ x+1 &\ge 3 \end{align*} Dengan kata lain, $x+1\ge 0$. Dari definisi mutlak, \[|x+1| = x+1\] Karena $x\ge 2$, maka \[|x-2| = x-2\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+1| - 2|x-2| &= 1\\x+1 - 2(x-2) &= 1\\x+1-2x+4 &= 1\\-x+5 &= 1 \\ -x &= 1-5 \\ -x &= -4 \\ x &= 4 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya $x\ge 2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=4\ge 2\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=4$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2 : $-1\le x<2$

Karena $x<2$, maka \[|x-2|=-x+2\] Karena $-1\le x$, maka \[|x+1| = x+1\] Subtitusikan. \begin{align*}|x+1| - 2|x-2| &= 1\\ x+1 - 2(-x+2)  &= 1\\x+1+2x-4 &= 1\\ 3x -3 &= 1\\ 3x &= 4 \\ x &= \frac{4}{3} \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $-1\le x<2$. Kita cek, perhatikan bahwa \[-1\le x=\frac{4}{3}<2\]

yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=\frac{4}{3}$ merupakan penyelesaian.

Kasus 3 : $x<-1$

Karena $x<-1$, maka \begin{align*}x &<-1 \\ x-2 &<-1-2 \\ x-2 &<-3 \end{align*} Dari definisi mutlak, maka \[|x-2|=-(x-2)=-x+2\] Karena $x<-1$, maka \[|x+1|=-x-1\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}|x+1| - 2|x-2| &= 1 \\ -x-1 - 2(-x+2) &= 1 \\ -x-1 +2x-4 &= 1 \\ x -5 &= 1\\ x &= 6 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x<-1$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=6<-1\]
yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Jadi, semua penyelesaiannya adalah $\boxed{x=4}$ atau $\displaystyle \boxed{x=\frac{4}{3}}$.

Contoh 5.4

Tentukan himpunan penyelesaian dari \[2|2x+1| - 3|x| = 2\]
Dari definisi mutlak, \begin{align*}|2x+1| &=\begin{cases}2x+1,\text{ jika }2x+1\ge 0\\ -(2x+1),\text{ jika }2x+1<0 \end{cases}\\ |x| &= \begin{cases}x,\text{ jika }x\ge 0\\ -x,\text{ jika }x<0 \end{cases} \end{align*} Atau hal diatas dapat dituliskan dengan \begin{align*}|2x+1| &=\begin{cases}2x+1,\text{ jika }x\ge -\frac{1}{2}\\ -2x-1,\text{ jika }x<-\frac{1}{2} \end{cases}\\ |x| &= \begin{cases}x,\text{ jika }x\ge 0\\ -x,\text{ jika }x<0 \end{cases} \end{align*}

Kasus 1 : $x\ge 0$

Karena $x\ge 0$, maka \begin{align*}x &\ge 0 \\ 2x &\ge 2 \cdot 0\\2x &\ge 0 \\ 2x+1 &\ge 0+1 \\ 2x+1 &\ge 1 \end{align*} Dengan kata lain, $2x+1\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka \[|2x+1|=2x+1\] Karena $x\ge 0$, maka \[|x|=x\] Subtitusikan. \begin{align*}2|2x+1| - 3|x| &= 2 \\ 2(2x+1) - 3x &= 2\\4x+2-3x &= 2 \\ x+2 &= 2 \\x &= 2-2 \\ x &= 0\end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $x\ge 0$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=0\ge 0\] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $x=0$ merupakan penyelesaian.

Kasus 2 : $\displaystyle -\frac{1}{2}\le x <0$

Karena $\displaystyle -\frac{1}{2}\le x$, maka \begin{align*}|2x+1| =2x+1 \end{align*} Karena $x<0$, maka \[|x|=-x\] Subtitusikan. Maka \begin{align*}2|2x+1| -3|x| &= 2\\2(2x+1)-3(-x) &= 2\\4x+2 +3x &= 2\\ 4x +2+3x &=2\\7x+2 &= 2\\7x &= 2-2\\ 7x &= 0\\ x &= 0   \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle -\frac{1}{2}\le x<0$. Kita cek, perhatikan bahwa \[-\frac{1}{2} \le x=0 <0\] yang berarti tidak memenuhi syarat. Jadi, tidak ada penyelesaian.

Kasus 3 : $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$

Karena $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$, maka \begin{align*}|2x+1| = -2x-1 \end{align*} Karena $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$, artinya $x<0$. Dari definisi mutlak, \[|x|=-x\] Subtitusikan. \begin{align*}2|2x+1|-3|x| &= 2 \\ 2(-2x-1) -3(-x) &= 2\\ -4x-2+3x &= 2\\-x-2 &= 2\\ -x &= 2+2\\ -x &= 4\\x &= -4 \end{align*} Ingat bahwa syaratnya adalah $\displaystyle x<-\frac{1}{2}$. Kita cek, perhatikan bahwa \[x=-4<-\frac{1}{2} \] yang berarti memenuhi syarat. Jadi, $\displaystyle x=-4$ merupakan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\boxed{\{-4,0\}}$.
Dalam menyelesaikan bentuk \[|f(x)| = g(x)+c\] perlu meninjau bentuk $f(x)\ge 0$ dan $g(x)\ge 0$, $f(x)\ge 0$ dan $g(x)<0$, $f(x)<0$ dan $g(x)\ge 0$, serta $f(x)< 0$ dan $g(x)<0$. Semua penyelesaian yang didapatkan perlu dicek kembali, memenuhi syarat atau tidak.


Penutup

Tentunya, kalian sudah tau dong bagaimana untuk menyelesaikan Odading Mang Ole yang di awal tadi 😁 Yuk, tulis jawabanmu di komentar. Kalau ada yang kurang dimengerti, silahkan bertanya di kolom komentar. Insya allah aku akan menjawabnya dengan senang hati πŸ˜€ 
Sampai bertemu di postingan berikutnya! πŸ˜ƒ
Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

1 komentar

Berkomentarlah dengan sopan dan santun ya :D Jika ingin mendapatkan notifikasi bahwa komentarmu telah dibalas, silahkan tekan kotak "Beri tahu saya".