0XVOkzIOMuVO2ISulfVeSoRy4XR0Z5HcQhXOZ6RK

Konsep Nilai Mutlak

Hai sobat nimu! Tentu saja, kita akan membahas mengenai matematika 😁 Mendengar kata MATEMATIKA. Apa yang ada di pikiran kalian?

Hal yang membuatku stres pagi siang dan malam

Menurutku, matematika tidak perlu hafalan πŸ˜„ Aku sendiri, agar dapat menguasai konsep harus perbanyak latihan soal. Dan aku juga menghafal rumus tanpa menghafal. Wah gimana lagi tuh? ._. Menghafal tanpa menghafal? Emang bisa? Sangat bisa! Perbanyak latihan soal dari berbagai variasi soal dan mempelajari contoh soal dan pembahasannya.  Nah ketika mempelajari contoh soal dan pembahasannya, jangan dibaca aja tuh... Kamu sambil mencoba soal tersebut dan melihat pembahasannya. Hal ini dapat menuntunmu dan membuatmu lebih paham.

Jadi, ketika ulangan kalian ga bakalan seperti ini.

Sumber: imgur.com

Tentu saja gamau kan hehehe..

Tanpa matematika, kita tidak akan menemukan penemuan-penemuan besar seperti yang kita lihat atau gunakan saat ini. Setiap hari secara tanpa sadar kita telah menerapkan konsep pada matematika. Contohnya, jual beli. Jadi, sebenarnya tidak sia-sia kalian belajar matematika πŸ˜„

Kali ini, kita akan membahas menganai Konsep Nilai Mutlak. Bagi yang membacanya menggunakan HP, aku sarankan kalian untuk membacanya dengan posisi landscape agar notasi matematikanya tidak terpotong hehehe... Biar bacanya enak. Sebelumnya, kita berkenalan dulu dengan konsep nilai mutlak.

Jika kamu menemukan tulisan-tulisan aneh seperti ada tulisan dollar ($), \frac, \ge, \le, dan lain-lain, harap ditunggu sebentar ya hehe... Karena rumus matematika masih loading... Dan ketika muncul tulisan [Math Processing Error], kamu harus refresh halamanmu oke!

Konsep Nilai Mutlak

Perhatikan ilustrasi berikut.
Perjalanan si Memen
Di hari yang cerah, si kucing bernama Memen berada di sebuah pasar. Pasar tersebut berada $50$ meter di sebelah utara rumah Memen. Memen berjalan menuju utara sejauh $10$ meter dan berhenti. Memen teringat jika dia salah jalan. Sehingga Memen berjalan $30$ meter ke arah selatan..
(a). Dimana posisi Memen sekarang jika dilihat dari pasar?
(b). Jika Memen berjalan lagi hingga tiba di rumah, berapa jarak perjalanan yang telah Memen tempuh?
Jika kita gambarkan, langkah Memen seperti gambar berikut. Anggap posisi pasar pada $0$. Karena kita ingin mengetahui posisi Memen jika dilihat dari pasar.
(a). Posisi Memen sekarang adalah
\[10 \text{ m} + (-30) \text{ m}=-20 \text{ m}\]
Karena jarak tidak pernah negatif, jadi posisi Memen jika dilihat dari pasar adalah $\mathbf{20}$ meter di selatan pasar.
(b). Jarak posisi Memen sekarang dengan rumahnya adalah $30$ meter. Maka jarak perjalanan yang telah Memen tempuh adalah
\[10 \text{ m}+30\text{ m}+30\text{ m}=70\text{ m}\]
Jadi, jarak perjalanan yang telah Memen tempuh adalah $\mathbf{70}$ meter.

Perhatikan nilai $30$ meter ke selatan atau $-30$ meter (nilai jaraknya positif yaitu $30$ meter). Nilai positif dari $-30$, dinyatakan dengan nilai mutlak dari $-30$ yang dinotasikan $|-30|$.

Definisi Nilai Mutlak

Definisi
Untuk setiap bilangan real $x$, maka nilai mutlak $x$, didefinisikan dengan \[|x|=\begin{cases} x,\text{ jika }x\ge 0 \\ -x,\text{ jika }x<0\end{cases}\]
Perhatikan tabel berikut.
Bilangan Nilai Mutlak
$5$ $5$
$2$ $2$
$0$ $0$
$-1$ $1$
$-3$ $3$
$-7$ $7$
Mutlak dari suatu bilangan real selalu bernilai tak negatif. Artinya, jika $x$ bilangan real berlaku $|x|\ge 0$.

Contoh Soal

Untuk memperkuat pemahamanmu, yuk perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari
(1a). $|5|$
(1b). $|-9|$
(1c). $|2|-|-3|+|0|$
(1d). $\left | 2-\sqrt{5}\right | + \left |\sqrt{2}-1 \right |$
Pembahasan.
(1a). Karena $5\ge 0$, dari definisi mutlak maka $|5|=5$. 
Jadi, nilai dari $|5|$ adalah $\boxed{5}$.

(1b). Karena $-9<0$, dari definisi mutlak maka
\[|-9| = -(-9) = 9\]
Jadi, nilai dari $|-9|$ adalah $\boxed{9}$.

(1c). Karena $2\ge 0$, dari definisi mutlak maka $|2|=2$.
Karena $-3<0$, dari definisi mutlak maka $|-3|=-(-3)=3$.
Karena $0\ge 0$, dari definisi mutlak maka $|0|=0$.
Maka diperoleh
\begin{align*}|2|-|-3| + |0| &= 2 - 3 + 0 \\ |2|-|-3|+|0|&=-1 \end{align*}
Jadi, nilai dari $|2|-|-3|+|0|$ adalah $\boxed{-1}$.

(1d). Perhatikan bahwa $2=\sqrt{4}$. Kita tahu bahwa $4<5$. Artinya,
\begin{align*} 4 &<5 \\ \sqrt{4} &<\sqrt{5} \end{align*}
Kesimpulannya $2<\sqrt{5}$. Sehingga $2-\sqrt{5}<0$. Dari definisi mutlak, maka
\begin{align*}\left |2-\sqrt{5} \right | &= -\left (2-\sqrt{5} \right ) \\ \left |2-\sqrt{5} \right |&= -2+\sqrt{5} \end{align*}
Perhatikan juga bahwa $1=\sqrt{1}$. Kita tahu bahwa $1<2$. Artinya,
\begin{align*} 1 &<2 \\ \sqrt{1} &< \sqrt{2} \end{align*}
Kesimpulannya $1<\sqrt{2}$. Sehingga $0<\sqrt{2}-1$. Dari definisi mutlak, maka
\begin{align*} \left |\sqrt{2} -1 \right | &= \sqrt{2} -1 \end{align*}
Maka kita dapatkan
\begin{align*}\left |2-\sqrt{5} \right | + \left |\sqrt{2}-1 \right | &= -2+\sqrt{5}+\sqrt{2}-1 \\ \left |2-\sqrt{5} \right | + \left | \sqrt{2} -1 \right | &= \sqrt{5}+\sqrt{2}-3 \end{align*}

Contoh 2.

Jika $x<0$, nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk tanpa menggunakan tanda mutlak.
(2a). $|x|$
(2b). $|x|+2|x|-4|x|$
(2c). $|-x| + 2|x| +5x$
Pembahasan.
(2a). Karena $x<0$, dari definisi mutlak maka $|x|=-x$.
Jadi, $|x|=\boxed{-x}$.

(2b). Karena $x<0$, dari definisi mutlak maka $|x|=-x$.
\begin{align*}|x|+2|x|-4|x| &= (-x)+2(-x)-4(-x)\\ &= -x-2x+4x\\ |x|+2|x|-4|x| &= x \end{align*}
Jadi, $|x|+2|x|-4|x|=\boxed{x}$.

(2c). Karena $x<0$, dari definisi mutlak maka $|x|=-x$. Maka $2|x|=-2x$.
Karena $x<0$, maka 
\begin{align*}x &<0 \\ (-1) \cdot x &> (-1) \cdot 0 \\ -x &>0 \end{align*}
Jika kamu bingung kenapa tandanya bisa kebalik gitu, dari "$>$" menjadi "$<$", yuk simak info berikut πŸ‘€ 
Misalkan ada pertidaksamaan $a>b$. Jika kita kalikan/membagi kedua ruas dengan bilangan negatif, maka tandanya akan kebalik dari "$>$" menjadi "$<$". Misalnya kalo kedua ruas kita kalian dengan $-2$. Maka \begin{align*}a &>b \\ (-2)\cdot a &<(-2) \cdot b\\ -2a &<-2b \end{align*} Sama juga ketika $a<b$, akan berakibat $-2a>-2b$. Contoh lain, jika kita bagi kedua ruas dengan $-5$, maka \begin{align*} a &> b \\ \frac{a}{-5} &< \frac{b}{-5}\end{align*} Kedua hal diatas juga berlaku untuk tanda $>,\ge ,$ dan $\le$.
Dari definisi mutlak maka $|-x|=-x$. Sehingga didapatkan
\begin{align*}|-x| + 2|x| + 5x &= (-x) + 2(-x) + 5x \\ &= -x-2x+5x \\ &= -x-2x+5x\\ |-x|+2|x| + 5x &= 2x \end{align*}
Jadi, $|-x|+2|x|+5x=\boxed{2x}$.

Contoh 3.

Jika $x>2$, nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk tanpa menggunakan tanda mutlak.
(3a). $|x+3|$ 
(3b). $|x|+2|x-1|+4|2x|$ 
(3c). $\displaystyle \frac{|-x| + 2|1-x|}{|x|}$
Pembahasan.
(3a). Karena $x>2$, maka
\begin{align*}x &>2 \\ x+3 &>2+3 \\ x+3 &>5 \end{align*}
Perhatikan ilustrasi garis bilangan $x+3>5$.
Terlihat bahwa $x+3\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|x+3|=x+3$.
Jadi, $|x+3|=x+3$.

(3b). Perhatikan garis bilangan dari $x>2$ berikut.
Terlihat bahwa $x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=x$.
Karena $x>2$, maka
\begin{align*}x &>2 \\ x-1 &>2-1 \\ x-1&>1 \end{align*}
Perhatikan garis bilangan $x-1>1$.
Terlihat bahwa $x-1\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|x-1|=x-1$.
Karena $x>2$, maka
\begin{align*} x&>2 \\ 2\cdot x &>2\cdot 2 \\ 2x &>4\end{align*}
Perhatikan garis bilangan $2x>4$.
Terlihat bahwa $2x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|2x|=2x$.
Sehingga
\begin{align*}|x|+2|x-1|+4|2x| &= x+2(x-1) + 4\cdot 2x \\ &= x+2x-2+8x\\ &= |x|+2|x-1|+4|2x|\\ &= 11x-2 \end{align*}
Jadi, $|x|+2|x-1|+4|2x|=\boxed{11x-2}$.

(3c). Karena $x>2$, maka
\begin{align*}x &>2 \\ (-1) \cdot x &< (-1) \cdot 2 \\ -x &<-2 \end{align*}
Perhatikan garis bilangan $-x<-2$.
Terlihat bahwa $-x<0$. Dari definisi mutlak, maka
\[|-x| = -(-x)=x\]
Karena $x>2$, maka
\begin{align*}x &>2 \\ x-x &>2-x \\ 0 &>2-x \\ 0-1 &>2-x -1 \\ -1 &>1-x \end{align*}
Perhatikan garis bilangan dari $-1>1-x$.
Terlihat bahwa $0>1-x$. Dari definisi mutlak, maka
\[|1-x| = -(1-x) = -1+x\]
Dari (b), kita sudah tahu $|x|=x$. Sehingga didapatkan
\begin{align*}\frac{|-x| + 2|1-x|}{|x|} &= \frac{x + 2(1-x)}{x}\\ &= \frac{x+2-2x}{x} \\ \frac{|-x|+2|1-x|}{|x|}&= \frac{2-x}{x} \end{align*}
Jadi, $\displaystyle \frac{|-x|+2|1-x|}{|x|}=\boxed{\frac{2-x}{x}}$.

Contoh 4.

Tentukan semua kemungkinan bentuk tanpa menggunakan tanda mutlak dari operasi mutlak berikut
(4a). $|x-1|$ 

(4b). $|1-x|+|x|$
(4c). $|x||x-3| + |x+2|$ 
(4d). $|2x-1| +|3x+10|$
Pembahasan.
(4a). Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|x-1| &= \begin{cases}x-1, \text{ jika }x-1\ge 0\\ -(x-1), \text{ jika }x-1<0 \end{cases} \end{align*}
Atau sama saja dengan
\begin{align*}|x-1| &= \begin{cases} x-1, \text{ jika } x\ge 1\\ 1-x, \text{ jika } x<1\end{cases} \end{align*}

(4b). Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|1-x| &= \begin{cases}1-x, \text{ jika }1-x\ge 0\\ -(1-x), \text{ jika }1-x<0 \end{cases}\\ |x| &= \begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\ -x,\text{ jika }x<0 \end{cases} \end{align*}
Atau bentuk diatas dapat kita tuliskan dengan
\begin{align*}|1-x| &= \begin{cases} 1-x, \text{ jika }x\le 1\\ x-1, \text{ jika }1>x\end{cases}\\ |x| &= \begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\ -x, \text{ jika }x<0 \end{cases} \end{align*}
Dari hal tersebut, kita bagi menjadi beberapa kemungkinan. Perhatikan ilustrasi berikut.
Untuk $x\ge 1$. Artinya, $x\ge 0$. Dari definisi mutlak, $|x|=x$.
Perhatikan untuk $1-x$.
\begin{align*}x &\ge 1 \\ (-1) \cdot x &\le (-1) \cdot 1 \\ -x &\le -1\\-x+1 &\le -1+1\\ 1-x &\le 0 \end{align*}
Nah loh gimana kalo nyari $|1-x|$ dimana $1-x\le 0$, yuk Simak info berikut terlebih dahulu πŸ˜ƒ
Definisi dari sifat mutlak juga dapat dituliskan dengan \[|x| = \begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\ -x, \text{ jika }x\le 0 \end{cases}\] Jika kita memakai $|x|=x$ jika $x\ge 0$, maka $|0|=0$. Jika kita memakai $|x|=-x$ jika $x\le 0$, maka $|0|=-0=0$. Tapi, sebagian besar referensi atau buku cetak menuliskan definisi mutlak sebagai \[|x|=\begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\-x,\text{ jika }x<0 \end{cases}\] Keduanya sama-sama BENAR.
Karena $1-x\le 0$, dari definisi mutlak 
\begin{align*}|1-x| &= -(1-x) \\ &= -1+x\\ |1-x| &= x-1 \end{align*}
Maka
\begin{align*}|1-x|+|x| &= x-1+x\\ |1-x|+|x| &= 2x-1 \end{align*}
Jadi, untuk $x>1$ berlaku $|1-x|+|x|=2x-1$.
Untuk $0\le x<1$. Artinya, $|x|\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=x$.
Perhatikan untuk $1-x$.
\begin{align*} 0 &\le x <1\\ (-1) \cdot 0 &\ge (-1) \cdot x > (-1) \cdot 1 \\ 0 &\ge -x >-1\\ 0+1 &\ge -x+1 >-1+1\\1 &\ge 1-x >0\end{align*}
Karena $1-x\ge 0$, artinya $1-x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka
\[|1-x| = 1-x\]
Maka
\begin{align*}|1-x|+|x| &= 1-x+x\\ |1-x|+|x| &=1 \end{align*}
Jadi, untuk $0\le x<1$ berakibat $|1-x|+|x|=1$.
Untuk $x<0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=-x$.
Perhatikan untuk $(1-x)$.
\begin{align*}x &<0\\ (-1) \cdot x &> (-1) \cdot 0 \\ -x &>0\\ -x+1 &>0+1\\ 1-x &>1 \end{align*}
Karena $1-x>1$, artinya $1-x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka
\[|1-x| = 1-x\]
Maka
\begin{align*}|1-x|+|x| &= 1-x+(-x)\\ &= 1-x-x\\ |1-x|+|x| &= 1-2x \end{align*}
Jadi, untuk $x<0$ berakibat $|1-x|+|x|=1-2x$.

Dari ketiga hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa
\[|1-x|+|x| =\begin{cases}2x-1, \text{ jika }x\ge 1\\1, \text{ jika }0\le x<1\\ 1-2x, \text{ jika }x<0 \end{cases}\]

(4c). Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|x| &= \begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\ -x, \text{ jika }x<0\\ -x, \text{ jika } x<0 \end{cases} \\ |x-3| &= \begin{cases} x-3,\text{ jika } x-3\ge 0\\ -(x-3), \text{ jika }x-3<0\end{cases} \\|x+2| &= \begin{cases} x+2, \text{ jika }x+2\ge 0\\ -(x+2), \text{ jika }x+2<0\end{cases}\end{align*}
Atau bentuk diatas dapat kita tuliskan dengan
\begin{align*}|x| &= \begin{cases}x, \text{ jika }x\ge 0\\ -x,\text{ jika }x<0\end{cases}\\ |x-3| &= \begin{cases}x-3,\text{ jika }x\ge 3\\ 3-x,\text{ jika }x<3 \end{cases}\\ |x+2| &= \begin{cases} x+2,\text{ jika }x\ge -2\\ -x-2,\text{ jika }x<-2\end{cases} \end{align*}
Dari hal tersebut, kita bagi menjadi beberapa kemungkinan. Perhatikan ilustrasi berikut.
Untuk $x\ge 3$. Maka $x-3\ge 0$ dan $x+2\ge 5$. Artinya, $x\ge 0$, $x-3\ge 0$, dan $x+2\ge 0$. Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|x| &= x\\ |x-3| &= x-3 \\ |x+2| &= x+2 \end{align*}
Maka
\begin{align*}|x||x-3| +|x+2| &= x(x-3) + (x+2) \\ &= x^2-3x+x+2\\ |x||x-3| + |x+2| &= x^2-2x+2 \end{align*}
Jadi, untuk $x\ge 3$ berakibat $|x||x-3|+|x+2|=x^2-2x+2$.
Untuk $0\le x<3$. Artinya, $x\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=x$. Perhatikan untuk $(x-3)$.
\begin{align*}0 &\le x <3 \\ 0-3 &\le x-3 <3-3\\ -3 &\le x-3 < 0 \end{align*}
Artinya, $x-3<0$. Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|x-3| &= -(x-3) \\ &= -x+3 \\ |x-3| &= 3-x\end{align*}
Perhatikan untuk $(x+2)$.
\begin{align*}0&\le x<3\\ 0+2 &\le x+2<3+2\\2 &\le x+2<5 \end{align*}
Artinya, $x+2\ge 0$. Dari definisi mutlak, 
\begin{align*}|x+2|=x+2 \end{align*}
Maka
\begin{align*}|x||x-3| + |x+2| &= x(3-x)+x+2\\ &= 3x-x^2+x+2\\|x||x-3|+|x+2| &= -x^2+4x+2 \end{align*}
Jadi, untuk $0\le x<3$ berakibat $|x||x-3|+|x+2|=-x^2+4x+2$.
Untuk $-2\le x<0$. Artinya, $x<0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=-x$. Perhatikan untuk $(x-3)$. 
\begin{align*} -2 &\le x <0 \\ -2-3 &\le x-3 <0-3 \\ -5 &\le x-3 < -3 \end{align*}
Karena $x-3<-3$, artinya $x-3<0$. Dari definisi mutlak, 
\begin{align*}|x-3| &= -(x-3) \\  &= -x+3\\|x-3| &= 3-x \end{align*}
Perhatikan untuk $(x+2)$. 
\begin{align*}-2 &\le x <0\\ -2+2 &\le x+2 <0+2 \\ 0 &\le x+2 <2 \end{align*}
Artinya, $x+2\ge 0$. Dari definisi mutlak,
\[|x+2|=x+2\]
Maka
\begin{align*}|x||x-3| +|x+2| &= (-x)(3-x) +x+2 \\ &= -3x+x^2+x+2\\ &= x^2-2x+2 \end{align*}
Jadi, untuk $-2\le x<0$ berakibat $|x||x-3|+|x+2|=x^2-2x+2$.
Untuk $x<-2$. Artinya, $x<0$. Dari definisi mutlak, maka $|x|=-x$.
Perhatikan untuk $(x-3)$.
\begin{align*}x &<-2\\ x-3 &<-2-3\\ x-3 &<-5 \end{align*}
Karena $x-3<-5$, artinya $x-3<0$. Dari definisi mutlak, maka
\begin{align*}|x-3| &= -(x-3) \\ &= -x+3\\|x-3| &= 3-x \end{align*}
Perhatikan untuk $(x+2)$.
\begin{align*}x &<-2 \\ x+2 &<-2+2 \\ x+2 &<0 \end{align*}
Dari definisi mutlak, maka
\begin{align*}|x+2| &= -(x+2) \\ |x+2| &= -x-2 \end{align*}
Maka
\begin{align*}|x||x-3| + |x+2| &= (-x)(3-x)+(-x-2)\\ &= -3x+x^2-x-2\\ |x||x-3|+|x+2|&= x^2-4x-2 \end{align*}
Jadi, untuk $x<-2$ berakibat $|x||x-3|+|x+2| =x^2-4x-2$.

Dari keempat hal diatas, dapat disimpulkan bahwa
\begin{align*}|x||x-3|+|x+2| &=\begin{cases}x^2-2x+2, \text{ jika }x\ge 2\\-x^2+4x+2, \text{ jika }0\le x<3\\ x^2-2x+2, \text{ jika }-2\le x<0\\ x^2-4x-2, \text{ jika } x<-2 \end{cases} \end{align*}
Atau dapat kita tuliskan juga dengan
\begin{align*}|x||x-3|+|x+2| &= \begin{cases}x^2-2x+2,\text{ jika }-2\le x<0\cup x\ge 2\\ -x^2+4x+2,\text{ jika }0\le x<3\\ x^2-4x-2,\text{ jika }x<-2 \end{cases} \end{align*}
Kedua jawaban tersebut BENAR.

(4d). Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|2x-1| &= \begin{cases}2x-1, \text{ jika }2x-1\ge 0\\ -(2x-1),\text{ jika }2x-1<0 \end{cases}\\ |3x+10| &= \begin{cases} 3x+10, \text{ jika }3x+10\ge 0\\ -(3x+10), \text{ jika }3x+10<0 \end{cases}\end{align*}
Atau bentuk diatas dapat kita tuliskan dengan
\begin{align*}|2x-1| &= \begin{cases} 2x-1, \text{ jika }x\ge \frac{1}{2}\\ 1-2x,\text{ jika }x <\frac{1}{2}\end{cases}\\ |3x+10| &= \begin{cases}3x+10,\text{ jika }x\ge -\frac{10}{3}\\ -3x-10, \text{ jika } x<-\frac{10}{3} \end{cases} \end{align*}
Kita bagi menjadi beberapa kemungkinan. Perhatikan ilustrasi berikut.
Untuk $\displaystyle x\ge\frac{1}{2}$. Maka
\begin{align*}x &\ge \frac{1}{2} \\ 2 \cdot x &\ge 2\cdot \frac{1}{2} \\ 2x &\ge 1 \\ 2x-1 &\ge 1-1\\ 2x-1 &\ge 0 \end{align*}
Dari definisi mutlak, maka $|2x-1|=2x-1$.
Perhatikan untuk $3x+10$.
\begin{align*}x &\ge \frac{1}{2}\\ 3 \cdot x &\ge 3\cdot \frac{1}{2} \\ 3x+10 &\ge \frac{3}{2}+10\\ 3x+10 &\ge 10\frac{3}{2} \end{align*} 
Karena $\displaystyle 3x+10\ge 10\frac{3}{2}$, artinya $3x+10\ge 0$. Dari definisi mutlak, maka $|3x+10|=3x+10$.
Maka
\begin{align*}|2x-1|+|3x+10| &= 2x-1+3x+10 \\ |2x-1|+|3x+10| &= 5x+9 \end{align*}
Jadi, untuk $\displaystyle x\ge \frac{1}{2}$ berakibat $|2x-1|+|3x+10|=5x+9$.
Untuk $\displaystyle -\frac{10}{3} \le x<\frac{1}{2}$. Maka
\begin{align*}-\frac{10}{3} &\le x <\frac{1}{2}\\ 2 \cdot \left (-\frac{10}{3} \right ) &\le 2 \cdot x < 2\cdot \frac{1}{2} \\ -\frac{20}{3} &\le 2x <1 \\ -\frac{20}{3} -1&\le 2x-1 <1-1\\ -\frac{23}{3} &\le 2x-1 <0 \end{align*}
Dapat disimpulkan bahwa $2x-1<0$. Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|2x-1| &= -(2x-1)\\ &= -2x+1\\ |2x-1| &= 1-2x \end{align*}
Perhatikan untuk $(3x+10)$.
\begin{align*}-\frac{10}{3} &\le x <\frac{1}{2}\\ 3 \cdot \left (-\frac{10}{3} \right ) &\le 3\cdot x <3\cdot \frac{1}{2}\\ -10 &\le 3x <\frac{3}{2}\\-10+10 &\le 3x+10 <\frac{3}{2}+10\\ 0 &\le 3x+10 < \frac{23}{2} \end{align*}
Karena $3x+10\ge 0$, dari definisi mutlak maka $|3x+10|=3x+10$. 
Maka
\begin{align*}|2x-1|+|3x+10| &= 3x+10+1-2x\\ &= |3x+10|+|2x-1|\\|2x-1|+|3x+10| &=x+11 \end{align*}
Jadi, untuk $\displaystyle -\frac{10}{3} \le x<\frac{1}{2}$ berakibat $|3x+10|+|2x-1|=x+11$.
Untuk $\displaystyle x< -\frac{10}{3}$. Maka
\begin{align*}x &<-\frac{10}{3} \\ 3 \cdot x &<3\cdot \left (-\frac{10}{3} \right ) \\ 3x &<-10 \\ 3x+10 &<-10+10 \\ 3x+10 &<0 \end{align*}
Karena $3x+10<0$, dari definisi mutlak 
\begin{align*}|3x+10| &= -(3x+10) \\ |3x+10| &= -3x-10 \end{align*}
Perhatikan untuk $(2x-1)$. 
\begin{align*} x &<-\frac{10}{3} \\ 2\cdot x &<2\cdot \left (-\frac{10}{3} \right ) \\ 2x &<-\frac{20}{3}\\ 2x-1 &<-\frac{20}{3} -1 \\ 2x-1 &<-\frac{23}{3}\end{align*}
Karena $\displaystyle 2x-1<-\frac{23}{3}$, artinya $2x-1<0$. Dari definisi mutlak,
\begin{align*}|2x-1| &= -(2x-1)\\ &= -2x+1\\|2x-1| &= 1-2x \end{align*}
Maka
\begin{align*}|2x-1|+|3x+10| &= 1-2x+(-3x-10)\\ &= 1-2x-3x-10 \\ &= -5x-9 \end{align*}
Jadi, untuk $\displaystyle x<-\frac{10}{3}$ berakibat $|2x-1|+|3x+10|=-5x-9$.

Dari ketiga hal diatas, maka dapat disimpulkan bahwa
\begin{align*}|2x-1|+|3x+10| &= \begin{cases}5x+9, \text{ jika } x\ge \frac{1}{2}\\ x+11,\text{ jika }-\frac{10}{3}\le x<\frac{1}{2}\\-5x-9,\text{ jika }x<-\frac{10}{3} \end{cases} \end{align*}

Nah tadi itu pembahasan mengenai Konsep Nilai Mutlak. Ada soal latihannya ga min? Tenang aja kok... Kamu dapat download soal latihan plus pembahasannya dengan menekan tombol berikut.
Kalo kalian masih bingung, kalian bisa tanyakan di kolom komentar. Aku akan menjawabnya dengan senang hati dan tentunya sangat senang jika kalian bertanya 😁 Ada PR? Silahkan tanyakan aja. Aku gabakal gigit kok 😐 Daripada kegantung karena gapaham, rasanya seperti kegantung doi yang ga peka-peka 😬
Yup cukup sekian. Tetap semangat sobat Nimu dan sampai ketemu kembali 😎
Nimba Ilmu
Tempat Belajar Bersama Paling Asyik

Postingan Terkait

2 komentar

  1. Lanjutkan !!! Boleh nyumbang materi geo ngak
    Bisa dicek disini https://jekik11.blogspot.com/

    BalasHapus
Berkomentarlah dengan sopan dan santun ya :D Jika ingin mendapatkan notifikasi bahwa komentarmu telah dibalas, silahkan tekan kotak "Beri tahu saya".